第九讲：中学数学思想方法教学.ppt

第九讲：中学数学思想方法与教学 第一节：数学思想方法概述 一、我国现代最早研究这门学问的是徐利治先生。 1983年，徐利治著的《数学方法论选讲》问世。首次提出“数学思想”“、数学方法”“、数学思想方法”。 二、 明确主张要区分数学方法与数学思想的是《中学数学教学导论》一书（ 朱水根、王延文等著，教育科学出版社1988第版），书中指出： “数学方法就是提出、分析、处理和解决数学问题的概括性策略。“”数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中高度抽象、概括的内容，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中”。 数学方法从总体上将它们分成以下不同层次： 第一，基本的和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法、拓朴方法等，它们决定一个大的数学学科方向，是一些哲学范畴的数量侧面。 第二，与一般科学方法相应的数学方法。如数学中应用的类比联想、分析综合、归纳演绎等一般科学方法。 第三，数学中的特有方法，如数学等价、数学表示、公理化、关系映射反演、数形转换等方法。 第四，中学数学中的解题技巧。 此外，还提到第五个层次，即局部有用的特殊数学技巧，如因式分解中的十字相乘法、解二次方程中的配方法等。 另从接受的难易程度可分为三个层次：一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法；三是数学思想，如数学形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论思想及化归与转化的思想。 第二节：中学数学常用数学思想方法 一、基本的重大的数学方法 随着近代、现代数学的初步知识引入中学数学，微积分方法、概率统计方法已成为中学生必须初步领会的重大数学思想方法 ；模型化方法也是一种基本的、重大的数学方法。 二、一般的科学方法 1.抽象 所谓抽象，就是不考虑事物所有其他方面的特性，而把某一方面的特性分离出来。 数学抽象则是分离出事物或对象的空间形式和数量特征，或者统称为分离出对象的量的特征。 数学抽象的方法大的方面可分为两类：一类是从外部世界进入数学的抽象，一般是数学模型，通过数学模型方法实现的抽象；另一类是数学内部世界概念的发展，形成不同层次的数学对象，具有不同层次的抽象度，中学数学中，这两方面都涉及到。对于后一类，中学数学中常用的抽象方法有弱抽象和强抽象。 2.分析与综合 所谓“分析”，是指对对象加以分解，对它的各个组成部分、方面、因素、层次分别加以研究，从而认识事物本质的一种思维方法；反之相反“，综合”则是把分解的各个部分联合起来成为一个整体，对整体加以观察的思维方法。 数学中还用到另一种特定含义的“分析法”和“综合法”，这就是我们上节中介绍过的“执果索因”（逆推法）和“由因导果”（顺推法）的思考方法。 执果索因、由因导果及其相互配合的方法是基本的方法之一。这种方法也就提示了我们的数学教学方法，对如何教和教什么，都将可以受到启示。 3.归纳与演绎 归纳与演绎是数学中用得最多的一般逻辑推理方法。 归纳法：从特殊到一般；演绎法：从一般到特殊。 归纳和演绎同样重要，都是学生必须掌握的一般科学方法。 数学中还用到类比、化归（或称转化）、分类整合等其他一般方法。其中，转化的思想方法和分类整合的思想方法尤其普遍使用。我们将在下面分别专门介绍 三、数学中特有的方法 1.字母代表数的思想 用字母代替数字，是中学生最先接触到的数学思想，也是初等代数以及整个数学教育最重要、最基础的数学思想。 2. 建立模型思想 所谓数学模型，指的是对现实原型为了某种目的而作抽象、简化的数学结构。它是使用数学符号、数学式子及数量关系对原型作一种简化而本质的刻画，比如方程、函数等概念都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型。根据原型进行具体构造数学模型的过程称为数学建模。数学建模的活动过程主要包括： (1)问题分析：了解问题的实际背景知识，掌握第一手资料。 (2)假设化简：根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。 (3)模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具、数学知识来刻画变量之间的数量关系，建立其相对应的数学结构。 (4)模型求解：对模型进行求解。 (5)模型检验：将模型结果与实际情形相比较，以此来验证模型的准确性。如果模型与实际吻合较差，则应修改假设再次重复建模的过程；如果模型与实际比较吻合，则要对计算的结果给出其实际含义，并进行解释。 3.化归思想 化归是转化和归结的简称。化归是解决数学问题的一般思想方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个间题，而得出的新问题是相对容易解决或已有固定解答的问题，且通过对新问题的研究解决