第二章 方程求根revised.ppt

本章讨论非线性方程 的求根问题， function [xvect,xdif,fx,nit]=bisect(a,b,toll,nmax,fun) err=toll+1; nit=0; xvect=[]; fx=[]; xdif=[]; while (nit nmax err toll) nit=nit+1; c=(a+b)/2; x=c; fc=feval(fun,x); xvect=[xvect;x]; fx=[fx;fc]; x=a; if (fc*feval(fun,x) 0) a=c; else b=c; end; err=abs(b-a); xdif=[xdif;err]; end return 定义2：设 有不动点 ，如果存在 的某个领 域 ，对任意 ，迭代公式 产生的序列 收敛到 ，则称该迭代法局部收 敛。 例1： 利用牛顿迭代法求解 f(x)=ex-1.5-tan-1x 的零点。初始点x0=-7.0  例1： 利用牛顿迭代法求解 f(x)=ex-1.5-tan-1x 的零点。初始点x0=-7.0  p 阶收敛 定义1（P30 定义2.2） 设迭代过程 收敛于方程 的根 ，如果迭代误差 ,当 时 成立下列渐进关系式 则称该迭代过程是 阶收敛的. 特别地， 时称线性收敛， 时称超线性收敛， 时称平方收敛。 §2.2 Jacobi迭代法的收敛速度 局部收敛性（P29 定义2.1） 注：局部收敛性表明了迭代过程的收敛性与初始值选取有关。 设 为 的不动点， 在 的某个领域连续，且 ，则迭代法 收敛。 定理2: 设 为 的不动点， 在 的某个领域连续，且 ，则迭代法 收敛。 （P29 定理2.2） 证明：由连续函数的性质，存在 的某个领域 ，使对任意 成立 ， 此外，对于任意 ，总有 ， 这是因为 于是可断定迭代过程对于 内任意的初值收敛。 定理2: 对于迭代过程 ，如果 在根 的邻近连续，并且 (1) 则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的。 定理3（P30 定理2.3） 注意到 由上式得到 因此对迭代误差，当 时有 这表明迭代过程 确实为 阶收敛。证毕 由于 ，可以断定迭代过程 具有局部收敛性。 再将 在根 处做泰勒展开，得到 证明: 在 与 之间， §2.3 牛顿(Newton)法 第1节 牛顿法的基本思想 第2节 牛顿法的收敛速度 第3节 牛顿下山法 第4节 算例分析 取 xk ? x*，将 f (x)在 xk做一阶Taylor展开: ，? 在 xk 和 x 之间。 将 (x* ? xk)2 看成高阶小量，则有： 1.原理：将非线性方程 逐步线性化而形成迭代公式. §2.3 Newton迭代法—基本思想 记其根为 则得到 x y x* xk 只要 f ? C 1，每一步迭代都有 f ‘( xk ) ? 0， 而且 ，则 x* 就是 f 的根。 2. 牛顿法 几何意义 Newton迭代公式 [牛顿迭代法] 1: 初始化. x0 , M,δ,ε,置i:=0 2: 如果| f(xi ) |≤δ ，则停止. 3: 计算 xi+1:=xi - f (xi) / f (xi) 4: 如果|xi+1-xi| ε or | f (xi) |≤δ ，则停止. 5: i:=i+1, 转至3. 3. 牛顿法的算法构造 解： f (x0)=-0.702×10-1，f (x)=ex-(1+x2)-1