第二章 结构可靠性的基本概念和原理 数学基础.ppt

第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 一 、随机变量的数字特征 1、位置特征 随机变量----指在一定条件下的实验中,每次都取一个不能预先确知数值的变量。 随机变量的取值为可预先列举的有限个值(有时是可列个值) ,称为离散型随机变量。 随机变量的取值为充满某一区间的任何数值,则称为非离散型随机变量(或连续型随机变量)。 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 反映随机变量的集中位置或分布中心的数学特征有数学期望、众数或中位数等。 对离散型随机变量来说,所有可能值与其对应概率乘积的总和称为该随机变量的数学期望。例如,设离散型随机变量的可能值为x1、x2 、 x3 、┉ 、xn其对应的概率分别为p1、p2 、 p3 、┉ 、pn,则X的数学期望,记为E[x]或μn,记为： 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 E[x]= （2-1） 若X以等概率xi=1/n,取xi=1,2,3,…,n,则： E[x]= (2-2) 即随机变量的数学期望就是其所有可能值的平均值。在一般情况下,随机变量取的概率是不相等的,设 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 即随机变量X的数学期望是所有可能值x1,x2, …,xn的加权平均值。称mi为xi的权数。 随机变量的数学期望实际上是平均值的推广。并常常把数学期望就称为平均值。 连续型随机变量：由于它的可能值是不可列的,是连续地充满某个区间的,因而式(2-1 )中的离散值替换为连续变量x, 对应的概率xi则替换为概率元f(x)dx,且总和改为积分,即得非离散型随机变量的数学期望,即: 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 当已确知随机变量的取值范围为(a,b )时,则上式积分可改为从a到b。 在位置特征中,除了最常用的数学期望外,有时也用众数和中位数,分别记为μ1x和μ2x。 对离散型随机变量来说,众数是概率为最大的可能值; 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 对连续型随机变量来说,众数则是概率密度为极大的值。工程中常遇到的概率密度是单峰铃形曲线,故众数可由下式求得: df(x)/dx=0 (2-5) 随机变量的中位数,也常称中值, 满足等式: p(X＜μ2x)=p(X＞μ2x) (2-6) 从几何上说,中位数将分布曲线下的面积划分为相等的两半,即随机变量取小于或大于μ2x值的概率相等。 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 2.原点矩和中心矩 数学期望是表达随机变量的集中位置或者说分布中心的数字特征。 截面惯性矩的大小可以表示面积的分布情况。 在概率论中也用矩来描述随机变量集中程度及分布特征。 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 离散型随机变量-----所有可能值的k次方与其对应概率的乘积的总和称为该随机变量的k阶原点矩。 连续型随机变量: 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 数学期望就是一阶原点矩,而k阶原点矩则是随机变量的k次方的数学期望: Ek[X]=E[Xk] 随机变量X与其数学期望μx之差称为中心化随机变量,即为X-μx,它的k阶原点矩称为随机变量的k阶中心矩,记为μk,计算公式为: μk(x)=E[(X-μx)k] (2-9) 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 对于离散型随机变量: 对于连续型随机变量: Ek(X)= ∫-∞∞(x-μx )kf(x)dx (2-10) 一阶中心矩恒等于零。 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可靠性数学基础 3 .方差、标准差、变异系数 力学中,惯性矩是面积对通过形心主轴的二阶矩,反映了面积围绕形心的分布特征。与此相对应,随机变量对数学期望的二阶矩,即二阶中心矩,则描述随机变量围绕数学期望的分布特征,通常称为方差,记为,D[X]， D[X]= μ2[X]=E[（X-μx）2] (2-11) 即方差是随机变量相对其数学期望的偏差的平方的数学期望。 第二章：结构可靠性的基本概念和原理 2.1 结构可