第二章 连续时间系统时域分析 2.ppt

本章总结： 1、LTI连续系统的响应： 全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) 2、关于0-和0+初始值 当系统已经用微分方程表示时，如果包含有?(t)及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。 冲激函数匹配法: 3、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) 自由响应＋强迫响应；暂态响应+稳态响应；零输入响应＋零状态响应 4、冲激响应和阶跃响应 5、卷积积分 卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为τ→得f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从–∞到∞对乘积项积分。 6、卷积积分的性质 [?1(t)??2(t)]??3(t)=?1(t)?[?2(t)??3(t)] [例2.2.1] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t) h’(0-) = h(0-) = 0， 利用冲激函数匹配法，设： h”(t) =aδ(t)+b; h’(t) =a; h(t) =0 解得：a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h’(0+) =1 + h’(0-) = 1 微分方程的特征根为 故系统的冲激响应为 代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以 对t0时，h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0，故系统的冲激响应为齐次解。 [例2.2.2] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)，求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h’(0-)，根据冲激函数匹配法得： h”(t) = aδ”(t) +b δ’(t) +cδ(t)+ d h’(t) = aδ’(t) +bδ(t) + c h(t) = aδ(t) + b 带入方程求得： a =1 ，b = - 3，c = 12，d=-42 故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 对t0时，有 h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0 微分方程的特征根为 故系统的冲激响应为 所以: h(t) = δ(t) -3 h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + 12 h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)-42 代入初始条件h(0+) = – 3， h’(0+) =12 求得C1=3，C2= – 6, 所以 结合式h(t) = δ(t) + b得: 系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。 二．阶跃响应 1．定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。 2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性 解：s由1转向2后， 列写回路方程：R1 i(t)+vc(t)=e(t) vc(t)=L i’L(t)+iL(t)R2 列写结点方程： i(t)=Cv’c(t)+iL(t) [例2.2.4]电路如图所示，求电流i(t)对激励e(t)=u(t)的阶跃响应，t＝0时，s由1转向2。 整理得到： i’’(t)+7i’(t)+10i(t)=e’’(t)+6e’(t)+e(t) 阶跃响应满足： g’(0-)=g(0-)=0 ,得 特解B代入得： 10B＝4，B＝2/5 利用冲激函数匹配法求解初始值， 所以： a=1,b=-1,c=1 得： g(0+)=g(0-)+1=1