第二章 非线性方程求根2.ppt

牛顿下山法 * §4 牛顿法 /* Newton - Raphson Method */ 原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 /* Taylor’s expansion */ 取 x0 ? x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开: ，? 在 x0 和 x 之间。 将 (x* ? x0)2 看成高阶小量，则有： 线性 /* linear */ x y x* x0 只要 f ?C1，每一步迭代都有f ’( xk ) ? 0， 而且 ，则 x*就是 f 的根。 §4 Newton - Raphson Method 定理 （收敛的充分条件）设 f ?C2[a, b]，若 (1) f (a) f (b) 0；(2) 在整个[a, b]上 f ”不变号且 f ’(x) ? 0； (3) 选取 x0 ? [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) 0； 则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的唯一根。 有根 根唯一 产生的序列单调有界，保证收敛。 定理 （局部收敛性）设 f ?C2[a, b]，若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根，且 f ’(x*) ? 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 ，Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*，且满足 §4 Newton - Raphson Method 证明：Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则 收敛 由 Taylor 展开： 只要 f ’(x*) ? 0，则令 可得结论。 在单根 /*simple root */ 附近收敛快 ? §4 Newton - Raphson Method 注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 0 2 -0.09073 -1.416147 -0.064049 1 1.935951 -0.002908 -1.325069 -0.002195 2 1.933756 -0.000003 -1.321921 -0.000002 3 1.933754 列表计算: §4 Newton - Raphson Method 改进与推广 /* improvement and generalization */ ? 重根 /* multiple root */ 加速收敛法： Q1: 若　　　 ，Newton’s Method 是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 n 重根，则： 且 。 因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代， 其中 ，则 A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。 ? 令　　　　　，则 f 的重根 = ? 的单根。 §4 Newton - Raphson Method ? 正割法 /* Secant Method */ ： Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于2个函数值，比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。 x0 x1 切线 /* tangent line */ 割线 /* secant line */ 切线斜率　?　割线斜率 需要2个初值 x0 和 x1。 收敛比Newton’s Method 慢，且对初值要求同样高。 §4 Newton - Raphson Method ? 下山法 /* Descent Method */ ——Newton’s Method 局部微调： 原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ，使得 。 xk xk+1 注：? = 1 时就是Newton’s Method 公式。 当 ? = 1 代入效果不好时，将 ? 减半计算。 （1）选取初始近似值x0； （2）取下山因子? = 1； （3）计算 （4）计算f (xk+1)，并比较