第二章常微分方程.ppt

第二章常微分方程——二阶常系数方程 一、 二阶常系数方程的解法 1. 齐次方程通解（欧拉，1743；达朗贝尔，1766） 设 得 谢 谢 * * 化工问题的建模 与数学分析方法 —— Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering 第二章 常微分方程 1、二阶线性常系数方程的解法 2、二阶变系数方程的级数解法 3、一阶微分方程组的矩阵解法 4、稳定性问题分析 第二章常微分方程——基本概念 常微分方程 方程的解与阶 ——解析解，数值解 线性与非线性（与代数方程类比） ——叠加原理 齐次与非齐次（与代数方程类比） 常系数与变系数 第二章常微分方程——基本概念 求解历史 第一阶段 初等解法，1675-1775 初等方法求解，此后百年解法无进展 1841 Liouville 证明许多方程无初等解法 第二阶段 级数解法 幂级数解法，1850-1890 Laplace变换法，1900-1920 第三阶段 定性理论与数值解法 稳定性理论 1900-1950 数值解法 1950- 第二章常微分方程——二阶常系数方程 相异实根 共轭复根 重根 2. 非其次方程特解：比较系数法 第二章常微分方程——二阶变系数方程 二、 二阶变系数方程的解法 1、级数解法（G.Frobenius,1849-1917) 广义幂级数 代入方程，比较系数法确定参数c 和 an 第二章常微分方程——二阶变系数方程 设 代入，得 第二章常微分方程——二阶变系数方程 首项xc的系数为0——指标方程 第n项xn+c的系数为0 ——递推公式 第二章常微分方程——二阶变系数方程 由指标方程的第一根c = c1可以得到方程的第一个解 当c1－c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。 当c1、c2 为重根时，第二解为 当c1－c2 为整数时，第二解为 第二章常微分方程——二阶变系数方程 推导：设 只满足递推公式(n≥1 )而不一定满足指标方程，将其代入方程后有 重根时y1 =y(x,c1)， 满足方程； c1－c2 =整数时y1 =y(x,c1)， 满足方程 第二章常微分方程——二阶变系数方程 2. Bessel方程及其级数解 (F.W. Bessel, 1784-1846) 称为k阶Bessel方程。 采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程 第二章常微分方程——二阶变系数方程 递推公式 第一解 第二章常微分方程——二阶变系数方程 第二解分为以下三种情况 i ) k为分数 ii ) k = 0 第二章常微分方程——二阶变系数方程 第二章常微分方程——二阶变系数方程 iii ) k为整数 第二章常微分方程——二阶变系数方程 3、Legendre方程与Legendre函数 (A.M. Legendre,1752-1833) 设 代入，得 第二章常微分方程——二阶变系数方程 递推公式 根据幂级数收敛判别法知，在x =±1处级数发散，但物理上函数又是有界的，因此只有参数l 取整数才能保证级数在x =±1处收敛，此时级数成为Legendre多项式 第二章常微分方程——二阶变系数方程 性质 Bessel函数、Legendre函数均为正交函数族，满足正交条件，可以作为函数基将任意分片光滑的函数展开成Fourier级数，分别称为Fourier－Bessel级数和Fourier－Legendre级数。 第二章常微分方程——一阶常系数方程组 三、 一阶常系数方程组的矩阵解法 齐次方程 第二章常微分方程——一阶常系数方程组 设 代入方程得 从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵 第二章常微分方程——一阶常系数方程组 通解 或 y = Y c 常数 c 由初始条件确定 第二章常微分方程——线性稳定性分析 四、线性稳定性分析方法 稳定性（stability)——系统的一种动态特性，指偏离定常状态后能否自动返回该定常态的性质,系统抗干扰能力的度量。 定常态（steady state)——稳态（与瞬态对应），系统不随时