第二节 数学准备.ppt

数学准备：微分方程及偏微分方程 古林强 噪声与振动控制中涉及的方程( 一) 噪声与振动控制中涉及的方程( 二) 微分方程的一般概念 定义 联系自变量和未知函数及其导数的等式。 分类 按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程； 按未知函数及其导数的次数，分为线性微分方程和非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。 常微分方程 微分方程的一般概念 线性常微分方程的性质 一阶线性常微分方程 二阶线性常系数微分方程 二阶线性变系数微分方程 线性常微分方程 一般形式 a0y(n)+a1y(n-1)+‥‥+a n-1y’+any=f(x) 其中未知函数的系数可以是常数，也可以是x的函数。 分类 按自由项f(x)是否为零，分为齐次和非齐次。 叠加原理 齐次方程任意两个解的线性组合也是解； 非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也是解。 1.可分离变量的微分方程 2.齐次微分方程 3.一阶线性微分方程 二阶线性微分方程解的结构 二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的应用 (2) 型 令m=max(l, n),由欧拉公式 ( )易知 分别为 的实部与虚部，其中Rm (x)为x的m次多项式. 其中 分别是x的l次、n次多项式. 是m次多项式，m=max{l, n}, 而k按 )不是特征方程的根或是特征方程的单根分别取为0或1 . (或 类似于情形(1)中的讨论.可推得如下结论：方程 具有形如 的特解，其中: 例3.9 求 的通解 . 解 :方程对应的齐次线性方程的特征方程为 即 特征根 所以对应齐次方程的通解: 自由项 是零次多项式 ，λ=1不是特征方程根 (1) 型微分方程 这类方程的特点是右端仅含有自变量x，只要把作为新的未知函数，将原来的n阶方程化为新的未知函数 的一阶微分方程. 两端积分， 得到一个(n－1)阶微分方程 上式两端再一次积分，得 依此继续进行，接连积分n次，便得到原来的n阶微分方程的含有n个任意常数的通解. (2) 型微分方程 这类方程的特点是方程中不显含未知函数y . 令 , 则 ,代入原方程，得 这是关于未知函数p的一阶微分方程若求得通解为 则原微分方程的通解为 (3) 型微分方程 这类方程的特点是方程中不显含自变量x . 设 , 方程化为 这是一个关于变量y、p的一阶微分方程，再按一阶方程的方法求解. 例3.1 解二阶微分方程 解 :积分一次得 再积分一次 即为所求的通解. 例3.2 求初值问题 的解 . 解 :设 ,代入方程并分离变量后，有 两端积分 即 由条件 得 , 所以 两端再积分，得 又由条件 ，得 =1，于是所求特解为 例3.3 解方程 解 :令 , 得 当p≠0, 有 分离变量，得 两边积分，得 即 分离变量，得 故通解为 (3.1) 若(7.3.1)式右端f (x)≡0，那么称方程是齐次的， (3.2) 否则称方程是非齐次的. 当P(x), Q(x)都是常数时，称为二阶常系数线性微分方程 在实际问题中应用得较多的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，其一般形式为 下面我们讨论二阶线性微分方程解的结构，这些结构可以推广到n阶线性微分方程. 以下定理均略去证明. 定理3.1 若y1, y2是方程(3.2)的两个特解, 且 ≠常数, 则 就是方程(3.2)的通解 . 例如易验证 及 都是方程y″+4y=0的解，且 ≠常数， 因此 是方程y″+4y=0的通解 . 定理3.2 设y*是二阶非齐次线性微分方程(3.1)的一个特解, 是方程(3.1)所对应的齐次线性微分方程(3.2)的通解, 那么 是二阶非齐次线性微分方程(3.1)的通解 . 定理3.3 设非齐次线性方程(3.1)的右端f (x)是几个函数之和,如 而 与 分别是方程 的特解，那么 就是原方程的特解 . 以上我们讨论了二阶线性微分方程的通解在结构上的特征，至于通解中的 及 的求法，尚待进一步讨论，下面我们将讨论二阶常系数