第四章-4.2常系数线性方程的解法.ppt

* 例15 解 对上式两端作拉普拉斯变换,得 因此 查拉普拉斯变换表得 从而 这就是所求的解. * 例16 解 对方程两端作拉普拉斯变换,得 因此 查拉普拉斯变换表得 这就是所求的解. * * * 例6 解 上面代数方程的根为 故方程的通解为: * 例7 解 上面代数方程的根为 故方程的通解为: * 4.2.3 常系数非齐次线性微分方程特解的求法--比较系数法 定义 形如 其实，方程(4.32)的求解问题已经解决，因为(4.32) 对应的齐次线性微分方程(4.19) 基本解组可以求出来，用常数变易法可以求得方程(4.32)的一个特解，根据前面的定理7就可以写出(4.32)的通解。只是用常数变易法来求解，求解比较繁琐，且要用到积分运算。然而在解决实际问题时，往往要求解一些比较简单的微分方程，即带有特殊形式的微分方程，为此，我们介绍一种常用的方法：比较系数法，它的特点是不需要通过积分而用代数运算和微分运算就可以求得非齐次线性微分方程的特解。 的方程称为常系数非齐次线性微分方程. * 类型Ⅰ , 那么方程(4.32)有形如 1. 的特解。其中k为特征方程 的根 的重数, 而 是待定系数，可以通过比较系数来确定。 下面分情况, 给出结论(4.33)的证明. * ① 如果 不是特征根 , 取k=0, 有如下形式的特解 比较t的同次幂的系数，得到常数应满足的方程组为 其中, 是待定常数. 代入方程(4.32), 因为,该方程组的系数矩阵为下三角形, 其对角线上的 元素都为 因而该方程组有唯一解, 这说明此时结论(4.33)成立. * ② 如果 是k重特征根，即， 方程（4.32）成为 作变换 ，则方程（4.28）化为 对于(4.36)， 已不是它的特征根。因此，由前面的讨论，有形如下列形式的特解。 * 这表明 是t的m+k次多项式，其中t的幂次 的项带有任意常数。但因只需要知道一个特解就够了。特别地取这些任意常数均为零，于是得到方程（4.35）（或方程（4.32））的一个特解 因而方程（4.32）有特解 满足 * 作变量变换 ，方程（4.32）化为 特征方程 的根 对应于（4.37）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有 在 不是特征方程的根的情形，（4.32）有特解 在 是特征方程的根的情形，（4.32）有特解 其中k为重数. * 利用比较系数法求解常系数非齐次线性微分方程的一般步骤： 1、求对应常系数齐次线性微分方程的特征根； 2、分析f(t) 的形式，判定f(t) 中的指数是否为特征根？ 3、准确设定含参数的特解形式； 4、带入原方程，利用比较系数法确定参数求得特解. * 例8 解 对应齐次方程特征根为 故该方程的特解形式为 比较系数得 即 因此原方程的通解为 * 例9 解 对应齐次方程特征根为 故该方程的特解形式为 从而 于是 因此原方程的通解为 * 解 对应齐次方程特征方程为 故该方程有形状为 比较系数得 因此原方程的通解为 例10 有三重特征根 * 类型Ⅱ 其中 为常数，而 是带实系数的t的多项式，其中一个的次数为m，而另一个的次数不超过m，那么我们有如下结论：方程(4.32)有形如 的特解。 这里k为特征根 的重数，而P(t)，Q(t)均为待定的实系数的关于t的m次完全多项式，可以通过比较系数的方法来确定。 * 的解之和必为方程（4.32)的解。通过分析,（4.32) 与 则根据非齐线性方程的叠加原理有 有解形如 改写f(t)的形式如下 其中 * 利用非齐次线性微分方程的叠加原理和类型I的结果 类型II的求解思想 * 解 对应齐次方程的特征方程为 故该方程有形状为 故原方程的通解为 例11 有二个根 * 注: 类型Ⅱ的特殊情形 可用更简便的方法------ 复数法求解 例12 解 对应齐次方程的特征方程为 有二重特征根 为了求非齐线性方程的一个特解, * 故该方程有形状为 故原方程的通解为 先求方程 的特解,属类型I, 从而 分出它的实部 故 * 二、拉普拉斯变换法 定义（拉普拉斯变换）由积分 设给定微分方程 及初始条件 其中 是常数，而f(t)为连续函数且满足原 函数的条件。 所定义的确定于复平面 上的复