第四章5、拓扑共轭.ppt

第四章 动力系统概说 第四章 动力系统概说 §1 流与离散的动力系统 §2 轨道与不变集 §3 动力系统的性质 §4 拓扑共轭 §5 动力系统的稳定性 §4 拓扑共轭 §4 拓扑共轭 设 和 是拓扑空间（ 微分流形）， 拓扑共轭 把系统 过 点的轨道变成系统 过 的轨道： 拓扑共轭 拓扑共轭 拓扑共轭 重要结论： 称同胚 是动力系统 到 考虑动力系统 ，其中 证明环面 一般情况下，拓扑共轭的条件太强，人们开始寻求一些 较弱的关系，其中之一就是所谓的 共轭。 以下的问题具有十分重要的意义： * * 拓扑共轭定义 几个命题 拓扑等价 和 是同胚（ 微分同胚） 定义1 如果存在从空间 到 的同胚 ， 使得 则称 与 拓扑共轭。 注：上述定义可用图标表示如下： 拓扑共轭是一等价关系。 拓扑共轭是一等价关系：“~” 拓扑共轭的两个动力系统有什么关系？ 证明 命题1 把轨道 的 极限点（ 极限点）变成轨道 的 极限点（ 极限点）： 证明 命题2 由定义 把 的 周期点变成 的 周期点。 证明 命题3 把 的非游荡点变成 的非游荡点。 证明 对 的任一邻域 ， 把 的非游荡点变成 的非游荡点。 取 存在整数 ，使得 拓扑共轭的两个系统有相同的轨道结构。 对动力系统的研究来说，拓扑共轭的两个系统可以 认为是一样的。 拓扑等价，如果它将 中 的每条轨道映成 中 定义2 的一条轨道，且保持轨道的定向，即 其中 是 的严格单调增函数。 我们说动力系统 与 拓扑等价。 显然拓扑等价是一等价关系。 拓扑等价保轨道，保源，保汇。 是 上的线性流 例1 则对一切的 分属三个拓扑等价类。 首先，若 则 因为前者有一个汇而后者无汇。 其次，若 则 不拓扑等价。 同理，若 则 不拓扑等价。 只要证有理流 拓扑等价于有理流 。 上的有理流 例2 都是拓扑等价的。 证明 由数论知存在正整数 设 故 使 的轨道 是 上的同胚映射。 定义3 如果存在同胚 ，使得以下图 表可以交换 ，则称系统 和 是 共轭的： 显然 共轭也是一种等价关系。 即限制到各自的 集上的拓扑共轭。 以上问题即所谓的结构稳定性问题（ 稳定性问题）， 它属于微分动力系统研究的中心问题。 什么样的微分动力系统在“小扰动”之下不改变它轨 道的结构（ 集的结构）？ 要明确地给出结构稳定性和 稳定性的定义，首先要解释的 是“小扰动”。 为此，需要先引入映射空间的拓扑。 1、拓扑共轭与拓扑等价之间的关系？ 2、证明拓扑等价保源、保汇。 练习 *