经济数学-二阶常系数微分方程.ppt

微分方程 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程 五、小结 特别地 解 对应齐次方程通解 代入原方程求得 原方程通解为 例10 解 对应齐次方程通解 代入原方程求得 例11 原方程通解为 1.线性方程解的结构； 2.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 经 济 数 学 下页 返回 上页 二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 五、小结　思考题 第五节　二阶常系数线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 一、定义 一、二阶线性微分方程的概念 二阶线性微分方程的一般形式是 其中 丶 及 是自变量 的已知函数, 函数 称为方程(1)的自由项. 当 时, 方程(1)成为 这个方程称为二阶齐次线性微分方程. 相应地, 方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程. 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 1.二阶齐次方程解的结构 问题: 证 将(*)式代入方程(1)的左端, 有 所以(*)式是方程(1)的解. 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原 理. 注: 将齐次线性方程(1)的两个解 与 按(*) 式叠 加起来虽然仍是该方程的解, 并且形式上也含有两 个任意常数 与 这是因为定理的条件中并没有保证 与 这两个函数是相互独立的. 为了解决这 个问题, 但它却不一定是方程(1)的 通解, 我们要引入一个新的概念---函数的线性 相关与线性 无关的概念. 定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有 成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关. 例如， 是线性相关的， 是线性无关的. 例如 观察有 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 证 把(**)代入方程(2)的左端, 得 即 是方程(2)的解. 由于对应齐次方程的 通解 含有两个相互独立任意 为(2)的通解. 故 常数 例如, 方程 是二阶非齐次线性微分方 程, 已知其对应的齐次方程 的通解为 又容易验证 是该方程的一个特解, 所以 是所给方程的通解. 解的叠加原理 都是微分方程的解, 是对应齐次方程的解, 常数 所求通解为 例1 -----特征方程法 将其代入上述方程, 得 故有 特征方程 特征根 1)有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 2) 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 3)有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设非齐次方程特解为 代入原方程 整理得 1. 型 综上讨论 例 5 (1) (3) (2) 下列方程具有什么样形式的特解？ 解 方程具有特解形式： (2) 因 方程具有特解形式: 不是特征方程 的根, (1) 故 因 的单根, 是特征方程 故 (3) 因 所以方程具有特解形式： 的二重根, 是特征方程 例 6 求方程 的一个特解. 解 题设方程右端的自由项为 其中 对应的齐次方程的特征方程为 特征根为 所以就设特解为 把它代入题设方程, 型, 由于 不是特征方程的根, 得 比较系数得 解得 于是, 所求特解为 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程的通解为 例7 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程的通解为 例8 例 9 求方程 的特解. 解 解得特征根为 其对应齐次方程的特征方程为 设方 因特征方程有重根 程的特解是下列两个方程的特解的和: (1) (2) 的特解 所以设方程 (1) 整理后得 并消去 将其代入方程 (1) 于