经济数学1.4 函数的极限.ppt

第三节 函数的极限 一、函数的极限 四、无穷小与无穷大 2、无穷大量 2、无穷小量的运算法则 3、无穷小的比较 关于等价无穷小，有下面的重要性质： 内容小结 例8 求 解: 例9 求 解: 例10 求 解: 例11 求 （补充题） 解: ． = ＝ 前面学习了数列的极限有准则Ⅰ： 单调有界数列必有极限. 整数. 一般地，还可以证明， 即 可将(1)式变形为另一种形式 　　(1) (2) 例12　 求 ． 解: 例13　 求 解: 例14 解: 例15 求 解: （补充题） （补充题） 当 定义1 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 为 时的无穷小 . 注： （1）不要认为无穷小量是一个很小很小的数； （2）除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! ； （3）一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势 １．无穷小与无穷大的概念 简记为 定义2 若 则称函数 当 时为无穷大, 例如 : 是无穷大量； 是无穷大量； 注意: 1. 按函数极限定义来说， 无穷大的函数 f (x)的极限是不 存在的. 但为方便起见， 我们也说“函数的极限是无穷大” . 2. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 3. 函数为无穷大 , 必定无界 . 其中? 为 时的无穷小量 . 定理 2 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 例如： 有 其中 即 定理3（无穷小与无穷大的关系） 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 在自变量的同一变化过程 中, 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 说明: 性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 思考： 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 性质3 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 性质4 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 例16　 求 解　 因为 ， 所以 是有界变量； 根据性质2有 原式=0 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作 定义 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 例如 , 当 返回 上页 下页 目录 (Limits of Functions) 第一章 三、夹逼准则与重要极限Ⅱ 一、函数的极限 四、无穷小与无穷大 ＊二、函数极限的严格定义 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 (Limits Involving Infinity) 定义1 记作 定义2 记作 定义3 记作 注: 一般地, 在没有标明正负号的情况下, 例1 解: 函数值趋于1； 所以有 例2 解: 所以 2.自变量趋于有限值时函数的极限. (Limits Involving Finites) 定义4 记作 否则称函数 一般地， 常常需要考察 我们引入左、右极限的概念． 为此， 定义， 定义5 记作 内有定义， 身可以除外) 则称 定义6 内有定义， 身可以除外) 则称 根据上述定义，可以得出极限存在的充分必要条件： 定理1 即 例3 解 ， 左、右极限存在且相等， 所以 ． 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 因为 显然 所以 不存在 . 例4（补充题） 设函数 例5 解 即 即 注: 或 时， ＊二、函数极限的严格定义 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 (Limits Involving Infinity) 定义1可简单地表达为： 几何解释: 补充定义 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 两种特殊情况 : 证: 例1 证明 取 因此 就有 故 欲使 即 注: 是 的水平渐近线. 2.自变量趋于有限值时函数的极限. (Limits Involving Finites) （1） 双侧极限 (Two-sided Limits) 当 时, 有 例2 证明 证: 欲使 只要 取 则当 时 , 必有 因此 证: 例3 证明 函数在点x=3处没有定义. 故 取 当 时 , 必有 因此 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 例4 证明: 当 （