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第四章 根轨迹法 控制系统的性质，取决于系统闭环传递函数。可以根据闭环传递函数的极点、零点间接地研究控制系统的性能。 伊万思（W . R . Evans）提出了一种在复平面上由系统的 开环 极点、零点 来确定 闭环 极点、零点 的图解方法，称为根轨迹法。 §4.1 根轨迹法的基本概念 引例4－1 随动系统如图所示。 开环传递函数 闭环传递函数 闭环特征方程 闭环根 闭环特征方程 Kg s1 s2 0 0 -1 0.1 -0.113 -0.887 0.25 -0.5 -0.5 0.5 -0.5+j 0.5 -0.5-j 0.5 … ? -0.5+j? -0.5-j? 一般控制系统 闭环特征方程 根轨迹的条件方程 由 开环传递函数以开环零、极点来表示时 条件方程为 §4.2　绘制根轨迹图的基本法则 一、根轨迹的连续性 　　由于根轨迹增益在Kg ：0 ?∞ 变化时是连续的，所以特征根也连续变化，即根轨迹连续。 二、根轨迹的对称性 　　由于线性定常系统闭环特征方程的根必为实数 或共轭复数，根轨迹图实轴对称。 三、根轨迹的分支数 n阶系统，其特征方程有n个根，所以当增益在由0~?变化时，在s平面有n条根轨迹，即根轨迹的分支数等于n，与系统的阶数相等。 四、根轨迹的起点和终点 根轨迹增益Kg=0时的闭环极点称为根轨迹的起点 根轨迹增益Kg=∞时的闭环极点称为根轨迹的终点 由 有 Kg=0，两边相等，必有 n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。 由 有 Kg?∞，两边相等，必有 n条根轨迹终止于系统的n个开环零点。 一般m≤n，n阶系统只有m个有限零点，m条根轨迹 终止于m个有限零点，其余n-m条根轨迹终止于无 穷远处。 证明： 由 有 因为m≤n，Kg ? ∞，有s? ∞ 所以，其余n-m条根轨迹终止于无穷远处。 例 已知开环传递函数为 确定根轨迹的起点与终点。 五、根轨迹的渐近线 n-m条根轨迹将以什么方式趋向无穷远？即作 渐近线。 渐近线与实轴交点坐标 渐近线与实轴夹角 例4－2 已知系统开环传递函数 试确定根轨迹的支数、起点和 终点、渐近线。 六、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法 在实轴上选取实验点si，如果实验点si右方实轴上的开环零点数和极点数的总和为奇数，则实验点所在的实验段是根轨迹，否则该实验段不是根轨迹。 例4－3 设系统开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。 七、根轨迹的会合点和分离点 根轨迹在复平面上的某一 点相遇后又分开，称该点为 分离点或会合点。 分离点或会合点位置的计算 重根法：基于代数重根法则，如果方程函数f(x)=0有 重根，则f ?(x)=0的根也是f(x)=0的根。因此有 联立方程： 求解： 求得分离点。 极值法：由于函数f(x)可以在重根处获得极值，有 得 求解方程 即可求得分离点。 例4－4 单位反馈系统， 开环传递函数为 确定分离点和会合点。 八、根轨迹的出射角和入射角 根轨迹离开共轭复数极点的出发角称为出射角， 根轨迹趋于共轭复数零点的终止角称为入射角。 由幅角条件 出射角为 例4－5 已知开环传递函数， 试确定根轨迹的出射角。 九、根轨迹与虚轴的交点 计算根轨迹穿越虚轴的点。根轨迹穿越虚轴，其闭环 根必为纯虚根，所以，可设s=jω，代入特征方程， 联立实部方程和虚部方程解出。也可由劳斯判据解出 得实部方程与虚部方程 解出 十、闭环系统极点之和与闭环系统极点之积 a）当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和且为常数an-1。 根轨迹走向以重心sg为中心，左右两边对称运 动。 （b）闭环极点之积和开环零极点关系如下。 §4.3 控制系统根轨迹的绘制 一、单回路负反馈系统的根轨迹 例4－7 设系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 （4）计算分离点、会合点 （5）绘图，根轨迹为圆， 可由 s= σ+jω 代入特征方程证得。 例4－8 设系统开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 （6）出射角 （7）根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程 二、参量根轨迹 除根轨迹增益Kg外其它参数变化时——例如某些开环 零、极点，绘制的根轨迹称参量根轨迹 例4－9 控制系统如图所示，当Kg =4时，试绘制开环极点p变化时参量根轨迹。 四、正反馈系统的根轨迹 正反馈结构图 闭环传递函数 闭环特征方程 条件方程 又称零度根轨迹。 绘图步骤基本相同，在绘图法则中需要修改