薄圆筒、柱 弹塑性力学.ppt

简单的弹塑性问题 第六章 简单的弹塑性问题 §6.1 弹塑性边值问题的提法 §6.2 “薄壁筒”的拉、扭联合变形 §6.5 “柱体”的弹塑性自由扭转 §6.6 受内压的“厚壁圆筒” 塑性力学 §6.1 弹塑性边值问题的提法 一、弹塑性全量理论边值问题 i) 在V内的平衡方程: ii) 在V内几何关系（应变-位移关系）: iii) 在V内全量本构关系: (6-3) 边界Su 上给定位移 ，要求应力 ，应变 ，位移 ，它们满足 设在物体V内给定体力 ，在应力边界 ST 上给定面力Ti ，在位移 以下方程和边条件： v) 在 上位移边界条件： 二、弹塑性增量理论的边值问题 i) 在V内的平衡方程 其中 是 外法线的单位向量； 由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系（6-3）式。 iv) 在 上的应力边界条件: ii) 在V内的几何关系（应变位移的增量关系）： iii) 在V内的增量本构关系： 弹性区： 塑性区： （6-9） (a) 对于理想塑性材料，屈服函数为 ，则 弹性区： 塑性区： （6-10） （b）对于等向强化材料，后继屈服函数为 ，则 iv）在ST 上的应力边界条件： v）在Su 上的位移边界条件： vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面 的法向为ni ，则在 上有： (a)法向位移连续条件 (b)应力连续条件 上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。 §6.2 “薄壁筒” 的 拉、扭变形 考察薄壁圆筒承受拉力P 和扭矩T 联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐标，取z 轴与筒轴重合。设壁厚为h ，筒的内外平均半径为R ，则筒内应力为： 其余应力分量均为0。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、扭）只与一个应力分量有关，调整P 和T 之间的比值，即可得到应力分量间的不同比例。 假设材料是不可压缩的（v =1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下无量纲量： 在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出 (6-16) 进入塑性以后，Mises 屈服条件： 可化为： 下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。 对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是： 无量纲化后得到： 消去 得： 一、按增量理论求解 (6-19) (6-20) 由（6-18）式知 故 从（6-21）式中消去 和 ，就有： 同样地， 如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路径 则积分（6-22）或（6-23）式就可得到 关系或 关系。 保持常数的阶段 ab 上，设在a点有 由于在ab上 例如对于实验中经常采用的阶梯变形路径（图6-1），考虑 方程（6-22）变为： 图 6-1 积分并利用a点的已知条件，得出： 类似地，对于阶段bc , 二、按全量理论求解 由于假设了材料不可压， 由（5-63）式 化后得应力-应变关系为 将(6-26)式按(6-16)式无量纲 在本问题中用分量写出来就是： ，故 在图6-2中，有三条不同的加载路径从原点O 到达点C 在弹性范围内， ，屈服条件（6-18）在应变空间中写出就是 。可见图中的阴影区域是弹性范围。 路径①沿OBC。在B点有 在BC段上有 解出 在C点 类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 三 、算例 （1）用增量理论求解 O C A B D ① ② ③ 刚到达屈服，同时满足 由此得出在D点时的应力为： 不难证明沿 DC 段皆有 ，即应力值不变，在C点也就仍为 （2）用全量理论求解 代入（6-27）式得出 亦即 C点的应变 i）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同； ii）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。 由以上的结果可知： 路径③是比例加载路径ODC，其上 。在到达D点时， 实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转的假定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但可以发生轴向自由翘曲。 §6.5 柱体的弹塑性自由扭转 考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩T作用下的自由扭转问题。 以 表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为 从小应变下的Cauchy公式得出应变为： 一、研究范围和基本方程 (6-84) 其中 是截面的翘曲函数 假定截面是单连通的，取柱体