计算动力学第2章习题.ppt

* §2.1 相平面的基本概念 §2.2 奇点与极限环 §2.3 相平面分析 第2章 相平面法 本章习题 【1】试确定系统 的平衡点及其稳定性。 本章习题 [解]对此系统有 故平衡点为(0，0)和(l，1)。 本章习题 系统在平衡点(0，0)附近的线性近似方 程为： 本章习题 其系数矩阵为： [A]的特征值为： 本章习题 这是具有负实部的共轭值，所以平衡 点(0，0)为稳定焦点。因此原非线性系统 的平衡点(0，0)是稳定的。 本章习题 为了讨论平衡点(1，1)的稳定性，首先应作坐标平 移变换。令 可得： 本章习题 其线性近似方程为： 其系数矩阵为： 本章习题 [A]的特征值为： 为两不等的异号实根，故平衡点(1，1 )为鞍 点。因此，原非线性系统的平衡点(1，1 )是不 稳定的。 本章习题 【2】试确定系统 的平衡点,并指出其类型及其稳定性。 本章习题 [解]对此系统有 先求平衡点，令 本章习题 由上方程组可得： 由此可求得四个平衡点，即(2，1)、（1，2）、 （-1，-2）和(-2，-1)。 本章习题 下面分别讨论它们的稳定性： 1．先讨论平衡点(2,1) 做坐标变换，令 原方程变为： 本章习题 其线性近似方程为： [A]的特征值为： 其系数矩阵为： 本章习题 为两个不相等的正实根，故平衡点(2，1) 为不稳定的结点。原非线性系统的平衡点 (2，1)是不稳定的。 本章习题 2．讨论平衡点(1,2) 做坐标变换，令 原方程变为： 本章习题 其线性近似方程为： [A]的特征值为： 其系数矩阵为： 本章习题 为两个异号不相等的正实根，故平衡点 (1，2)为鞍点。原非线性系统的平衡点 (1，2)是不稳定的。 本章习题 3．讨论平衡点(-1,-2) 做坐标变换，令 原方程变为： 本章习题 其线性近似方程为： [A]的特征值为： 其系数矩阵为： 本章习题 为两个异号不相等的正实根，故平衡点 (-1，-2)为鞍点。原非线性系统的平衡 点(-1，-2)是不稳定的。 本章习题 4．先讨论平衡点(-2,-1) 做坐标变换，令 原方程变为： 本章习题 其线性近似方程为： [A]的特征值为： 其系数矩阵为： 本章习题 为两个异号的不相等负实根，故平衡点 (-2，-1)为稳定结点，原非线性系统的 平衡点(-2，-1)是稳定的。 本章习题 【3】试判别方程组： 的零解稳定性。 本章习题 解：两式相除，得 令 和 ，即可求得平衡点为(0，0)和（1，2）。下面只讨论零解的稳定性。 本章习题 为确定此平衡点(0，0)的稳定性，研究系统在点(0，0)处的线性近似方程 [A]的特征值为： 故平衡点 (0，0) 为鞍点，不稳定。 本章习题 【4】对于下列方程 其中 试确定其奇点以及类型，并判定其稳定性。 本章习题 解：将它化为两个一阶方程 上面两式相除，则得相迹的微分方程为 本章习题 它有唯一的奇点(0，0)。 其一次近似系统 显然有 其特征值为 本章习题 ， 为共轭复数，且实部为负。 平衡点(0，0)为稳定焦点。