计算方法 2.求根.doc

第2章 非线性方程的求根方法 2.1 二分法 设在区间中只有一个根，且满足，则二分法求根过程为： 记，取的中点， 若，则； 若，则，取； 若，则，取. 记，取的中点， 若，则； 若，则，取； 若，则，取. 记 这样获得近似根序列满足 于是当时，由得到. 二分法算法简单，收敛，但收敛速度较慢. 2.2 简单迭代法 将方程等价变形为，获得 迭代计算公式 取定一个初值，由迭代公式算出数列，若，则足够靠后的可作为根的近似值. 由上述得出称为迭代数列，函数为迭代函数，如上求根方法称为简单迭代法.对根，有，点称为的不动点,称方程为不动点方程. 例1 求方程在附近的根. 定理1 设迭代函数满足条件 1.当时，有； 2.存在正常数，使对任意 都有 则在中有唯一的不动点，迭代公式对任取，产生的数列都收敛于. 证明 作辅助函数 显然.由条件1知 由中值定理，至少存在一个，使，即，这说明在上有不动点. 如果在上还有一个不动点，有，利用条件2，有 矛盾，这就证明了满足定理条件的在中有唯一的不动点，记为. 由是不动点、迭代格式及条件2，有 注意到，在上式中令，可得，有 ，因而有 定理得证. 定理2 设定理1的条件成立，则有如下误差估计式 1 2 证明 只证1.由迭代公式和定理2.1的条件，有 因为，所以有 另一方面 代入上式得结论1. 定理2.1的条件2对任意，存在正常数满足 不易使用。实用中此条件常用 ， 代替. 习题1 给出适当的迭代方法求方程在区间[0,1]及[2,3]内的根. 习题2 证明用迭代格式产生的序列对于均收敛于. 习题3 利用适当的迭代格式证明 习题4 证明对任何初始值，由迭代公式所产生的序列都收敛于方程的根. 设有不动点，如果存在的某个邻域 对任意迭代产生的序列均收敛到，则称迭代法在附近局部收敛. 定理3 设是迭代函数的不动点，在点的某个邻域内连续，且，则迭代法局部收敛. 证明 由和在点处连续性，存在一个正实数L1和的某个闭邻域，使时有成立。当时，由及中值定理有 所以时，有. 因此，迭代对任意产生的数列都收敛于不动点，迭代格式局部收敛。 定义1 设数列收敛于x*，若存在实数 和，使得 则称的收敛阶为p.当p＝1时，称是线性收敛的；当p＝2时，称是平方收敛的；p1时称序列是超线性收敛的。 收敛阶越大，收敛越快，方法越好！ 定理4 设是的不动点，为自然数，在的某邻域内连续且 则由产生的数列在邻近是阶收敛的，且有 例2 用迭代求方程的根，试确定该方法的收敛阶. 例3 证明迭代格式 （） 是计算的三阶方法，并求 假设初值充分靠近. 例4 确定常数p，q，r使迭代函数 构造的迭代数列局部收敛到，并有尽可能高的收敛阶（要求给出这个阶数）. 解:由题意有迭代格式为 它要局部收敛到，则就是其不动点，即有关系 将代入并整理有: 此外要想有尽可能高的收敛阶，由定理4还应该有 由于有3个参数, 选取有 化简后得另外两个方程 这样得到关于p，q，r的方程组 求解之，得 于是有具体迭代格式 因为，故迭代法收敛阶最高为3. 2.3 Newton迭代法 将在处做Taylor展开 取展式中关于的线性部分即 代替，将方程 替换为近似方程，有 从近似方程中求出解（记为），得 此迭代式称为Newton迭代公式，用此公式求方程根的方法称为Newton迭代法。 方程的根又称为函数的零点. 若可分解为 ， 其中为正整数，且，时，称为单根，若，称为重根或的重零点. 假定是单根，则，. 对于Newton迭代法，其迭代函数为 可知. 又由 可知. 因此Newton迭代法在计算单根时至少平方收敛. Newton迭代法在计算重根时是线性收敛的？ 在Newton迭代公式中，用差商代替可得 对应算法称为弦截法,收敛阶为1.618. 例1 应用Newton法于方程 和 分别导出求的迭代公式，并求极限 . 9