计算方法-方程求解.pptx

计算方法 额日其太 北京航空航天大学能源与动力工程学院 Telriqitai@buaa.edu.cn 目录 引言 一元非线性方程求根 插值和曲线拟合 数值微分和数值积分 引言 科学研究的基本方法 理论分析 实 验 数值模拟 引言 科学研究的基本方法 科学研究的基本方法 引言 引言 科学研究的基本方法 建立数学模型→求解 引言 计算方法的基本问题—谁算？ 简单、重复性工作 复杂问题 引言 计算方法的基本问题—谁算？ 1+2+3+4+…+100=? 第一节 一元非线性方程求根 主要问题： 有根区间？ 求解方法？ 收敛性？计算精度？计算速度？ 常用方法： 对分法、迭代法 牛顿法、割线法 1、非线性方程求根的基本问题 基本思想： 1、非线性方程求根的基本问题 根的存在性 设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)f(b)0，则至少存在一个实数s，使得f(s)=0。 1、非线性方程求根的基本问题 有根区间的确定—逐步扫描法： x0 x1 x2 x3 2、对分法 对分法（二分法） a f(a) b f(b) f(x0) 确定有根区间 将区间分成两半 x=(a+b)/2 求f(x) 判断有根区间 x0 f(x1) x1 2、对分法 对分法的例子 n an bn xn f(xn) 0 1 2 1.5 + 1 1 1.5 1.25 - 2 1.25 1.5 1.375 + 3 1.25 1.375 1.3125 - 4 1.3125 1.375 1.34375 + 2、对分法 对分法的例子 函数是什么？ 2、对分法 问题：什么时候结束运算？ （1）方法一： 2、对分法 对分法解的精度 a f(a) b x0 f(x0) x1 f(x1) f(b) 3、迭代法 迭代法（不动点迭代法） 构造迭代公式：xn+1=g(xn) 产生解的序列：x0,x1,x2,…,xn 3、迭代法 构造等价方程 3、迭代法 算例 n 1 2 3 4 5 1 -2.375 (-0.333)0.5 0.559016 1.069045 1.196078 2 -72.56 1.382987 1.141638 1.133020 3 3.7X105 0.823050 1.128371 1.1303998 4 -5.1X1016 1.311956 1.130761 1.1303954 5 0.997054 1.130329 1.1303954 13 1.1303954 120 1.1303954 x0=1.5 3、迭代法 迭代法的几何意义 x=g(x) f(x)=0 xn+1=g(xn) s x1 x2 x0 3、迭代法 迭代法的几何意义 收敛 3、迭代法 迭代法的几何意义 发散 3、迭代法 迭代法的几何意义 发散 收敛 3、迭代法 迭代法的收敛性定理 若 ； ； 3、迭代法 例题 3、迭代法 例题 n xn 0 0.5000 1 0.7021 2 0.6108 3 0.6553 4 0.6343 …… … … 0.6411 3、迭代法 收敛速度 对于方程 f(x)=0 如果存在正实数m和C 设 使 ,则迭代是m阶收敛 m= 1，线性收敛 1m2，超线性收敛 m=2，平方收敛