计算机方法方程求根.ppt

由于 因此 为有根区间 由于 则 用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位 本题迭代函数有两种构造形式 因此采用迭代函数 例如: 解: 时 §2.2 迭代法—算例分析3 取初值 d1 = 0.1000000 d2 = -0.0105171 d3 = 0.1156e-002 d4 = -0.1265e-003 d5 = 0.1390e-004 d6 = -0.1500e-005 d7 = 0.1000e-006 由于|d7| =0.1000e-0061e-6 因此原方程的解为 x7 = 0.090525 x1 = 0.1000000 x2 = 0.0894829 x3 = 0.0906391 x4 = 0.0905126 x5 = 0.0905265 x6 = 0.0905250 x7 = 0.0905251 定义 设迭代过程 收敛于方程 的根 ，如果迭代误差 ,当 时 成立下列渐进关系式 则称该迭代过程是 阶收敛的. 特别地， 时称线性收敛， 时称超线性收敛， 时称平方收敛。 §2.2 迭代法的收敛速度 定义1：设 有不动点 ，如果存在 的某个领 域 ，对任意 ，迭代公式 产生的序列 收敛到 ，则称该迭代法局部收 敛。 局部收敛性 设 为 的不动点， 在 的某个领域连续，且 ，则迭代法 收敛。 定理: 设 为 的不动点， 在 的某个领域连续，且 ，则迭代法 收敛。 证明：由连续函数的性质，存在 的某个领域 ，使对任意 成立 ， 此外，对于任意 ，总有 ， 这是因为 于是可断定迭代过程对于任意的初值收敛. 定理: 全局收敛与局部收敛 定理的条件保证了不动点迭代的全局收敛性。 即迭代的收敛性与初始点的选取无关。 这种在 x* 的邻域内具有的收敛性称为局部收敛性。 定理中的条件 | ?’(x) | ? L 1 可以适当放宽 (2’) ?’(x) 在 x* 的某个邻域内连续，且 | ?’(x*) | 1 由 ?’(x) 的连续性及 | ?’(x*) | 1 即可推出： 存在 x* 的某个 ? 邻域 N(x*) =[x*-? , x* +? ], 使得对 ? x? N(x*)都有| ?’(x) | ? L 1, 则由 ?x0? N(x*) 开始的迭代都收敛。 对于迭代过程 ，如果 在根 的邻近连续，并且 (1) 则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的。 定理 注意到 由上式得到 因此对迭代误差，当 时有 这表明迭代过程 确实为 阶收敛。证毕 由于 ，可以断定迭代过程 具有局部收敛性。 再将 在根 处做泰勒展开，得到 证明: 在 与 之间， §2.3 牛顿(Newton)法 第1节 牛顿法的基本思想 第2节 牛顿法的收敛速度 第3节 牛顿下山法 第4节 算例分析 取 x0 ? x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开: ，? 在 x0 和 x 之间。 将 (x* ? x0)2 看成高阶小量，则有： 1.原理：将非线性方程 逐步线性化而形成迭代公式. §2.3 Newton迭代法—基本思想 x y x* x0 只要 f ? C 1，每一步迭代都有 f ‘( xk ) ? 0， 而且 ，则 x* 就是 f 的根。 2. 牛顿法 几何意义 [牛顿迭代法] 1: 初始化. x0 , M,δ,ε,置i:=0 2: 如果| f(xi ) |≤δ ，则停止. 3: 计算 xi+1:=xi - f (xi) / f (xi) 4: 如果|xi+1-xi| ε or | f (xi) |≤δ ，则停止. 5: i:=i+1, 转至3. 3. 牛顿法的算法构