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重庆大学(温罗生)数学实验第三次讲稿
具体方法如下: 建立函数m文件: function ff=funpara(x,a) ff=sin(a*x)-x; fsolve()语句的用法 建立相应的命令m文件: B=zeros(100,1); for a=1:100 x0=pi/(2*a)+0.01; B(a)=fsolve(@funpara,x0,[],a); end plot(B) * * * * 例:某物体的边缘呈圆形,通过测量边沿上是一个点的坐标,数据为(见程序)。使用fsolve计算物体边缘的曲线方程。 解:假定物体边缘的曲线方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 为了得到a,b和r的值。将上述十一组数据代人方程,得到 (xi-a)^2+(yi-b)^2=r^2(i=1,…,11)。次数方程个数是11个,未知量个数是3个。使用fsolve求解,其函数m文件为: function y=funcircle(x) A=[6.7630 5.1313 2.4713 -0.3435 -2.3887 -2.9927 -1.9572 0.3778 3.2455 5.7042 6.9465]; B=[23.2879 25.6492 26.7268 26.1668 24.1531 21.3470 18.6699 17.0010 16.8883 18.3688 20.9564]; for i=1:11 y(i)=(A(i)-x(1))^2+(B(i)-x(2))^2-x(3)^2; end 区间方法 对于一个闭区间上的连续函数,我们有一个0点存在定理,利用这个定理,可以对不可微的函数求得函数的0点。 基本思想是通过判断函数在端点处的函数值异号可以确定函数在开区间上至少有一个0点,然后通过缩小区间得到解的近似。 优点是不需要函数的导数信息,而且只要有0点就一定可以得到;缺点是相对牛顿法等速度较慢。 * * 问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞? 圆桶和海底碰撞时的速度有多大? 工程师们进行了大量破坏性的实验, 发现圆桶在直线速度为40 ft/s 的冲撞下会发生破裂, 剩下的问题就是计算圆桶沉入300 ft 深的海底时, 其末速度究竟有多大? 问题分析 引例的分析和求解 * * 1. 使用55加仑的圆桶; ( 1加仑 = 3.7854升 ) 2. 装满放射性废物时的圆桶重量为 W = 527.436磅 (1 磅 = 0.4526公斤 ) 3. 在海水中圆桶受到的浮力 B = 470.327磅 4. 圆桶下沉时受到海水的阻力 D = C v C 为常数, 经测算得: C = 0.08. 5. 建立坐标系, 取垂直向下为坐标方向 y , 海平面为坐标原点. y 0 问题假设 引例 * * 根据牛顿第二定律, 圆桶下沉时应满足微分方程: 建立模型 引例 * * 为了求出圆桶与海底的碰撞速度v(t), 需要求出圆桶下沉到海底300英尺时的时间 t, 再计算v(t),要做到这一点是十分困难的. 若将速度v 看成是海水深度y 的函数, 即 由复合函数的求导法知 建立模型 引例 * * 借助数值方法求出 v(300)=45.1ft/s,显然大于40ft/s。 结论:放射性废物不能随意放入公海! 建立模型 引例 * * 1、求下列方程的根 1)xsin(x)+cos(x)-sin(x)-2x=0, 在[-1,1]上的近似解。 2)判定方程 x7+x5+1=0 有几个实根? 3) 找出函数 f(x)=x3-6x2-2x+12 的所有零点。 2、求解线性方程组: 实 验 内 容 * * 3、求下列方程组的解 使用命令 solve() 或 fsolve()。 x0=[-5,-5] 实 验 内 容 * * 4. 炮弹发射视为斜抛运动,已知初始速度为 200 m/s,问要击中水平距离360m、垂直距离160m 的目标,当忽略空气阻力时,发射角应多大? 进一步思考:如果要考虑水平方向的阻力,且设阻力与(水平方向)速度成正比,系数为 0.1(1/s),结果又如何?炮弹质量假设为10千克? 实 验 内 容 * * 5.讨论:有这样的电视节目,对一件商品要求观众猜价格,主持人对观众所猜的数目的回答是高或者低(相对于实际价格).现在的问题时,对于价格在1000元之内的商品,寻找一个最好的方法,保证在最少的次数猜中商品价格.试给出竞猜5次得到正确答案的概率位多大.(设商品最小价格单位为
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