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一、二叉树模型中的参数估计 1.1 二叉树参数估计算法原理 想要预测股价二叉树，在知道初始值的前提下，还需要知道模型中的的u和d，但对于一支只知道对应于日期的股票价格，我们应该进行怎样的数据处理呢？下面通过实证数据对二叉树模型中的参数进行估计。 原理：Hull-White算法 令，并用如下公式计算u和d: 我们假设： ， 这里是独立的伯努利随机变量， 则我们可以得出和的合理估计值为： 其中： 和是来自实际市场数据的样本均值和样本方差，我们可以得出和的估计值为： 则： 1.2举例应用 我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件1. 由表可知，,，这个二叉树中所用的和与数据的相同，公式u和d可以简化成： 做4期二叉树图为： 这里的是一天，我们通过选择更大的时间间隔，令，即以一周为一个时间段，则有： 4期二叉树图变为： 再令即以半个月为一个时间段，则有： 4期二叉树图又变为： 由于该题的可以改变，时间间隔越长，股价“分叉”得更快。 二、 几何布朗运动估计与模拟 2.1几何布朗运动参数估计原理 令代表某股票在时刻的价格，由以下公式给出S的模型。 其中，是常量，B服从布朗运动，而该方程的解就是几何布朗运动。 即： 其中，是均值为0，方差为t的正态随机变量，由此得到的就是股价的几何布朗运动模型。我们将采用修正的股价模型对欧式看涨期权进行定价，在此之前，要对股价模型进行参数估计，即波动率和漂移率。 假设我们得到了在一段较长时间[0, T]内的股价数据记录，这段时间由n个长度相等的子区间组成，再假设我们知道每个子区间末的股价，将股价表示为： Si：第i个子区间末的股价 样本观测值为n+1个； 令表示均值，则： 样本方差用S2表示，则： 而U的观测值的均值为，方差为。 即： 最后算的参数和为： 及 而对于，则需要随机产生一系列标准正态分布，通过累加处理获得计算所需要的值。 也可运用对数正态分布模型,即： 其中，是一个均值为0，方差为T的随机正态分布变量，的获取与相仿。 2.2举例应用 我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件2. 计算股价，先随机生成均值为0，方差为n的正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下： 而后将预测值与实际值进行比较，得到： 根据图可直观地看出，预测值的波动率比较大，整个曲线趋势很不平稳，因此需要进行修正；于是，再随机生成均值为0，方差为1的标准正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下： 而后将预测值与实际值进行比较，得到： 由此可以看出，拟合程度还是很好的，可以用来预测未来几期的股票价格。预测未来两个月的股价，结果如下： 三、B-S模型及多期二叉树的期权定价 3.1.B-S期权定价公式： 假设有一股票现价为，V是看涨期权的价格， 看涨期权V值可表示为： 其中： 对于欧式看跌期权的价格P，可表示为： ； 3.举例应用 我选用了2013年11月16日的执行价，而后通过运用BS公式及多期二叉树计算期权价格的方式，将实际值与两方法的预测值进行比较，而后进行分析，详细数据见附件3。 计算结果数据： 再将预测所得数据与实际值进行拟合比较，得到如下图： 从该图主观地看出，三种期权的价格的趋势基本上一致，拟合程度也比较高，但对来说，BS的拟合程度更好一点。这样相对来说主观了一点，接着对数据进行再一次的处理分析： 最后算的，多期二叉树的预测误差的方差为：0.162756979，而几何布朗运动的预测误差的方差为：0，由此也可以得出，几何布朗运动拟合程度更好一些。 四、对冲 4.1做题思路 计算对冲，即计算值，，而，