三维声场边界元法几乎奇异积分问题分析.pdfVIP

第３４卷 第５期 计　 　 算　 　 物　 　 理 Ｖｏｌ．３４，Ｎｏ．５ ２０１７年９月 　 ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＯＭＰＵＴＡＴＩＯＮＡＬ ＰＨＹＳＩＣＳ　 Ｓｅｐ． ，２０１７ 文章编号：１００１⁃２４６Ｘ（２０１７）０５⁃０６１１⁃０８ 三维声场边界元法几乎奇异积分问题分析 ∗ 孙　 锐，　 胡宗军 ，　 牛忠荣 （合肥工业大学土木与水利工程学院，安徽 合肥　 ２３０００９） 摘　 要：以三维声场问题为例，提出一种准确计算高阶单元几乎奇异积分的半解析算法．首先分析高阶单元几何特 征，构造近似几何量，然后应用扣除法，将奇异积分核函数分解为规则核函数与近似几何量表达的奇异核函数．规 则核函数积分采用常规Ｇａｕｓｓ数值积分计算，奇异核函数积分采用半解析算法计算．给出三维声场内问题和外问题 经典算例，计算了近边界点的声压，结果证明本文半解析算法的有效性和准确性． 关键词：边界元法；几乎奇异积分；正则化；高阶单元；半解析算法 中图分类号：Ｏ３４８８　 　 　 文献标识码：Ａ ０　 引言 边界元法是紧随有限元法发展起来的一种数值计算方法，与有限元方法相比，具有降维，单元划分少，计 算速度快等优点．边界元法在分析无限域、半无限域、应力集中等问题上优势明显［１－２］． 目前，声场边界元法 主要研究方向有边界元法的数学理论与数值方法，边界元快速算法及其应用．很多学者在边界元快速算法及 其应用方向做了大量的工作［３－５］ ，本文主要对边界元法的数学理论与数值方法中的几乎奇异积分问题进行 研究．当源点不在积分单元但趋近于积分单元时，边界积分核函数将出现几乎奇异性，此时对几乎奇异积分 的常规Ｇａｕｓｓ数值积分失效．如何准确高效地计算几乎奇异积分是边界元法发展的重要问题． 由于三维边界元法需要在结构表面离散单元并计算单元面积分，因此处理三维几乎奇异积分比处理二 维几乎奇异积分困难的多．文献［６］利用双曲函数作变量变换计算了三维边界元法三角形单元的几乎弱奇 异积分和几乎强奇异积分．文献［７ －９］提出了二维线性单元正则化方法，并将其推广到三维问题，有效地消 除了几乎强奇异积分和几乎超奇异积分．文献［１０］将这种方法成功运用到热弹性力学问题，文献［１１］将这 种方法运用到位势问题．文献［１２－１４］将几何边界用投影点处的一阶泰勒展开式来近似，然后通过距离变 换消除了积分核函数的几乎奇异性．文献［１５］通过指数变换有效地消除了积分核函数的几乎奇异性．文献 ［１６－１７］通过采用将被积函数中非奇异部分展开成关于等参坐标下距离的幂级数的技术，提出了一种能处 理二维、三维各种高阶奇异曲线、曲面积分的方法．该方法不需要针对不同的核函数作单独处理，而且可以处 理任意高阶奇异边界积分．文献［１８］采用三维线性插值，一定程度上消除了三维静电场边界元法中的几乎 弱奇异、几乎强奇异积分． 边界元法在声场分析中具有独特优势并被广泛应用．文献［１９］提出了一种大规模ＧＰＵ并行计算方法有 效地解决了声场边界元法大规模计算问题．文献［２０］运用围道积分方法将边界元非线性特征值问题转化为 规模很小的广义特征值问题，构造出一种边界元特征值分析方法．文献［２１］ 提出高频快速多极算法用于解 决各种常规快速边界元算法无法运用到高频的问题． 几乎奇异积分问题同样是制约三维声场边界元法发展的重要因素．文献［２２］提出了一种线性元正则化 算法，将几乎强奇异、几乎超奇异面积分转化为沿单元围道一系列线积分，然后通过Ｇａｕｓｓ积分计算这些线 积分，从而有效地解决了声场边界元法几乎奇异积分问题．文献［２３］将这种方法应用到三维位势问题，同样 取得了较好的效果．但以上的方法多是基于低阶单元．与低阶单元相比，等参数高阶单元具有单元划分少，计 收稿日期：２０１６－０６－２８；修回日期：２０１６－０９－０９ 作者简介：孙锐（１９９３－），男，安徽合肥，硕士，主要研究方向：计算力学，Ｅ⁃ｍａｉｌ：１６０７５３４８５７＠ｑｑ．ｃｏｍ 　 ∗通讯作者：胡宗军，副教授，主要研究方向：计算力学，Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｈｕｚｏｎｇｊｕｎ＠ｈｆｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ ６１２