非线性议程求根.ppt

§4 Newton - Raphson Method 改进与推广 /* improvement and generalization */ ? 重根 /* multiple root */ 加速收敛法： Q1: 若　　　 ，Newton’s Method 是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 n 重根，则： 且 对于牛顿法， A1: 有局部收敛性,但重数n越高,g?(x* )越接近于1,收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。 ? 令　　　　　，则 f 的重根 = ? 的单根。 重根的处理见《矩阵计算与方程求根》－曹志洁等；P.208 对f(x)求1,2阶导代入即得 §4 Newton - Raphson Method ? 正割法 /* Secant Method */ ： Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ?，相当于2个函数值，比较费时。现用 f 的值近似 f ? ，可少算一个函数值。 x0 x1 切线 /* tangent line */ 割线 /* secant line */ 切线斜率　?　割线斜率 需要2个初值 x0 和 x1。 收敛比Newton’s Method 慢，且对初值要求同样高。 §4 Newton - Raphson Method ? 下山法 /* Descent Method */ ——Newton’s Method 局部微调： 原理 若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ，使得 。 xk xk+1 注：? = 1 时就是Newton’s Method 公式。 当 ? = 1 代入效果不好时，将 ? 减半计算。 ? 抛物线法 /* Parabola Method */ ——利用插值将非线性方程转化为低次多项式求根 x0 x1 切线 /* tangent line */ 割线 /* secant line */ x2 x3 * * 第六章 非线性方程求根 /* Solutions of Nonlinear Equations */ §1 Introduction 科学技术中常遇到高次代数方程或超越方程的求根问题。大于4次的代数方程无求根公式。因此需要研究函数方程求根问题的数值方法。 求 f (x) = 0 的根或零点x* 求根问题包括下面三个问题： 根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有 几个根？ 哪儿有根？确定有根区间 根的精确化：已知一个根的近似值后，能否 将它精确到足够精度？ 本章假设 f ?C[a, b]，且 f (a) · f (b) 0，则 f 在 (a, b) 上至少有一根，(a,b)即为有根区间。问题1、2得到解决。 1. 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 §2 根的有哪些信誉好的足球投注网站 ? 1.逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 设f (a) 0, f (b) 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发， 按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的有哪些信誉好的足球投注网站，即判别f(xk)=f(a+kh)的符号，若f(xk)0(而f(xk-1)0),则有根区间缩小为[xk-1,xk] (若f(xk)=0，xk即为所求根), 然后从xk-1出发，把有哪些信誉好的足球投注网站步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|xk-xk-1|?为止，此时取x*≈(xk+xk-1)/2作为近似根。 ①无法求复根及偶重根 ② 计算量大，收敛慢 ①简单; ② 对f (x) 要求不高 (只要连续即可) . x0=a b xk-1 xk x* 2. Bisection Method ? 2. 二分法 /* Bisection Method */(逐步有哪些信誉好的足球投注网站法的改进) 设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)0, f(b)0. 将[a0,b0],对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0), 若f(x0) =0, x*=x0 0,有根区间: [a1,b1]=[x0,b] 0,有根区间: [a1,b1]=[a, x0] 对[a1,b1]对分，如此反复进行，得到一系列有根区间： f(ak)?0, f(bk)?0, f(x*)=lim f(ak)= lim f(bk) a b x1 x2 x*