MLEM算法全过程推导.pdf

写在前面 ： 本文主要从一个初探着的角度，一步一步地推导出了 PET 图像重建 MLEM 算法的迭代 公式。认真读完这篇文章的朋友将具有 自行推导 MLEM 算法的迭代公式的能力，知道每一 步推导的原因。推导过程中重要的已地方用红字标出。希望本文对从事或正准备从事 PET 图 像重建工作或对 PET 图像重建有兴趣的你有一定的帮助^_^ ！ 一、PET 图像重建ML-EM 算法——从头到 尾的推导过程（PET 统计迭代重建算法入门）： 先说说我对 PET 图像重建中统计迭代重建算法的理解。统计迭代重建算法实际上是对 PET 的图像重建建立了一个统计学模型，然后用相应的统计学原理或者统计学算法来解决或 者优化最后得到结果，也就是图像。 而为什么强调统计二字，是因为正电子发射本身就是一种满足泊松分布的统计模型。因 此采用统计模型对 PET 图像重建进行建模在噪声、边界上能更方便地加入一些信息来对其 进行约束如 MAP、TV 等。这就是 PET 图像重建往往选择统计迭代方法而不选择代数解析迭 代方法的原因。 而说到 PET 图像重建的统计学建模，ML-EM （Maximum Likehood- Expectation Maximization）算法中的统计学建模可以说是最经典，最被业界公认的一种建模方法。由于 ML-EM 中对 PET 图像重建统计学建模的优势，在这种建模方法的基础之上，也衍生了许许 多多的更适应实际的图像重建算法，如为了提高收敛速度采用有序子集 OSEM 等方法重建。 在迭代算法中，通常将图像表示为一维数组 X 。Xj 表示排列的第 j 个像素。 一）ML-EM 重建算法中的统计学建模——模型假设 1. 我们最后要得到的图像像素值 f0j 表示对应像素位置的活度 （单位为Beq 或 mCi）。 因为 （1）衰变的正电子发射本身是满足泊松分布的； （2）发射的正电子数的期望与活度 f0j 成正比； （3）默认正电子湮灭朝各个方向发射伽马光子的概率是相等的。 因此该像素位置上在一定扫描时间内，朝各个方向发射的伽马光子的总数，记为 fj，fj 被看成满足 fj~poison(Xj)的随机变量，其期望值 Xj=a*f0j ，a 为时间。 2. 系统响应矩阵 Hij 则理解为，像素 f0j 内发射的伽马光子被第 i 条 LOR 上探测器探测 到的概率。 （1）每个像素之间正电子发射相互独立； （2）第 i 条 LOR （line of response，响应线）探测光子对的期望值 E( Pi ) = ∑(j)Hij*fj， 的含义为像素 f0j 发射光子总数 fj 中，被第 i 条 LOR 上探测到的光子数； （3）由 1. fj 又是满足泊松分布的随机变量，因此 根据泊松分布的性质，有 Pi~poison( ∑(j)Hij*Xj )。 3. 系统响应矩阵式可以通过 Monte Carlo 仿真得到，或是通过一些数学模型计算。它是 可以预先保存下来，或是在重建过程中计算的常量。 二）ML-EM 重建算法中的统计学建模——符号系统（仅限于本文） f0j ：通过一维数组排列的第 j 个像素的活度 （可以理解为正电子发射的速度） Xj ：（把二维图像的像素排列成一维数组），第 j 个像素朝各个方向发射的伽马光子的总 数。是随机变量的期望——与 f0j 成线性关系，也是最后要求的值。 fj ：第 j 个像素朝各个方向发射的总伽马光子总数。随机变量 Hij ：系统相应矩阵，表示第 j 个像素发射的伽马光子被第 i 条 LOR 探测到的概率。常量 E( Pi ) ：第 i 条 LOR 探测到的伽马光子数 。期望 Pi ：第 i 条 LOR 探测到的伽马光子数。随机变量，由探测器探测得到 Zij ：第 i 条 LOR 上探测到的第 j 个像素发射出的光子数，随机变量 p( k | λ=λ0 ) ：这里的 λ 表示期望为 λ0 的泊松分布在变量取 k 的时候的概率 后文的粗体变量表示向量或数组。在我阅读的很多文献里，经常会把随机变量和期望的 概念弄混淆。随机变量是不确定的，而期望往往是取决于事物本身的性质，是一个确定的值。 在此我特地把这两个概念区分开，用不同的符号表示，以便减