信息安全数学基础 2B卷答案.doc

院、系领导 审批并签名 B 卷 广州大学 2013-2014 学年第 2 学期考试卷 课程 信息安全数学基础2 考试形式（闭卷，考试） 学院 系 专业 班级 学号 姓名_ _ 题次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷人 分数 22 20 58 100 评分 一、填空题(共22分，每空2分) 1．若域的阶为9, 则其特征为 3 。 2．环的零因子为 2,3,4,6,8,10。 3．有理数域的扩域()在上的次数为 4 。 4．域的自同构有 2 个。 5．在上的极小多项式为。 6．的理想=，=，=，=。 7．的所有子域共有 4 个。 8．4次分圆多项式为。 二、判断题(若正确需证明,否则需给出反例) (共20分，每题5分) 1.若一个环的某个子集合有乘法的吸收律,则其为理想。 解：论断错误。反例：环为有理数域上的阶矩阵全体，子集合为不可逆阵全体。 2.若两环和同态，则这两个环同时有或没有零因子。 解：论断错误。 反例：整数环与同态，但中无零因子，而有。 3.特征为0的域必为无限域。 解:正确,否则若为有限域,元素个数为,则特征为 4.任何环必有非平凡的理想。 解:错误,域没有非平凡的理想。 三、证明和计算题（共58分） 1.(10分)与域不同构。 证明：假设与同构，映射为，则应有，于是, ，从而。设，则，而另一方面，故，但不属于，矛盾。 2.(12分) 设，则关于矩阵的加法与乘法构成环，是否为交换环？是否有乘法单位元？是否为整环？是否为域？ 证明：构成环，且为交换，有乘法单位元环 ，即为整环。 对，，则是域。 3．(10分) 设是有理数域，证明：。 证明：显然，故。 其次，由于，则， 于是可知，，因此，故。 4．(14分)证明环为欧氏环。 证明 令,将 限制到上, 称为到的映射.对任意的, .如果, , 令,. 取使得 ??? 则, 令, 则, 且, 而所以, 为的欧氏映射, 从而为欧几里德环.，其有几个本原元，取一个求其乘法的逆。 解:取一个中的一个3次不可约多项式,则 .本原元的个数为.取其中一个为,满足,易验证其阶为7,即为本原元. . 第1页 共3页