北京理工大学数学专业复变函数期末试题(MTH17061).doc

课程编号：MTH17061 北京理工大学2011-2012学年第一学期 2009级复变函数试题A卷 一、（10分）设，求证：。 二、（10分）设函数，试确定常数的值使在复平面上处处解析。 三、（10分）求下列积分，积分路径均为逆时针方向。1.；2.；3.。 四、（10分）求函数在内的孤立奇点，说明这些奇点的类型，并求出在这些点处的留数。 五、（10分）1.求在处的Taylor展式； 2.求在环域和上的Laurent展式。 六、（10分）求下列积分。1.，其中为常数；2. 。 七、（10分）求方程在内根的个数。 八、（10分）求一单叶解析函数，使其将带状区域映射成w平面的单位圆盘。 九、（10分）设在上解析，且，求证：对于任何正数，在圆C：上的积分。 十、（10分）设二元实函数在区域D上有定义，且在D上有，则称是区域D上的调和函数。求证：1.解析函数的实部和虚部均为调和函数； 2.设是单连通区域D上的调和函数，则存在区域D上的调和函数，使得在区域D上解析； 3. 设是区域D上的调和函数，且不恒为常数，则不可能在D的内点达到最大值或最小值。 课程编号：MTH17061 北京理工大学2012-2013学年第一学期 2010级复变函数试题A卷 一、（10分）设，求证：。 二、（10分）讨论的解析性。 三、（10分）求下列积分，积分路径均为逆时针方向。1.；2.；3.。 四、（10分）1.求在处的Taylor展式；（计算到的系数） 2.求在环域和上的Laurent展式。 五、（10分）求函数在内的孤立奇点，说明这些奇点的类型，并求出在这些点处的留数。 六、（10分）求下列积分。1.，其中为常数；2. 。 七、（10分）求方程在内根的个数。 八、（10分）求分式线性函数，使其将上半平面映射成w平面的单位圆盘，且满足。 九、（10分）证明：在极坐标下的Cauchy-Riemann条件为 。 十、（10分）设在上解析函数有Taylor展式，试证明：当时，。 课程编号：MTH17061 北京理工大学2013-2014学年第一学期 2011级复变函数试题A卷 一、讨论的解析性。 二、求下列积分，闭曲线的积分方向为逆时针方向。 1.，C为从0到1+i的直线段；2.；3.；4. ； 5.；6. ，其中为常数。 三、（缺失） 四、求在环域和上的Laurent展式。 五、求函数在内的孤立奇点，说明这些奇点的类型，并求出在这些点处的留数。 六、（缺失） 七、求方程在内根的个数。 八、求分式线性函数，使其将上半平面映射成w平面的单位圆盘，且满足。 九、证明Morera定理：若在单连通区域D上连续，且对D内任一条简单闭曲线C有，则在D上解析。 十、设在上解析函数有Taylor展式，试证明：当时，。 分值分配未知，猜测是每题10分。 课程编号：MTH17061 北京理工大学2014-2015学年第二学期 2013级复变函数试题A卷 一、（10分）解方程。 二、（10分）设在区域D上解析，证明是D上的调和函数，即。 三、（10分）通过计算，证明：。 四、（15分）1.求在处的Taylor展式； 2.求在环域上的Laurent展式。 五、（15分）求下列积分。1.；2. ； 3.，其中为的上半圆周，逆时针方向。 六、（10分）计算积分，其中，C为圆周。 七、（10分）叙述Riemann映射定理，并作一共形映射将映为，且满足。 八、（10分）设在上解析，且，其中，证明：。 九、（10分）在的去心邻域内解析，且，证明：是的可去奇点。 课程编号：MTH17061 北京理工大学2015-2016学年第二学期 2014级复变函数试题A卷 一、（10分）试求出的值。 二、（10分）设函数，求解析函数使得。 三、（10分）请画出从点0到1的三条简单曲线弧L，使得积分分别取值为 ，并给出证明。 四、（10分） 1.求函数在处的Taylor展式； 2.求在环域上的Laurent展式。 五、（20分）计算下列各积分。 1.； 2.； 3. ； 4.，其中。 六、（10分）求方程在圆环内根的个数。 七、（10分）试作一共形映射，把角域映成单位圆盘。 八、（10分）证明代数基本定理：任一非常数的n次多项式有n个根（重根重复计算）。 九、（10分）设在单位圆盘内解析，证明，其中，为面积元素。