数值分析（河海大学）ch1绪论.pptVIP

本课程的基本要求 掌握数值方法的基本原理 掌握常用的科学与工程计算的基本方法 能用所学方法在计算机上算出正确结果  数值分析的特点： 面向计算机，只能 和逻辑运算； 有可靠的理论分析； 要费时少，内存小； 经数值试验后，证明是行之有效。 在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类： 模型误差 观测误差 截断误差 4. 舍入误差 截断误差:求解数学模型所用的计算方法如果是近似的方法,据此方法得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为截断误差. 例如 用下列近似公式计算 由于 所以 截断误差为 截断误差:求解数学模型所用的计算方法如果是近似的方法,据此方法得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为截断误差. 1．3 误差定性分析与避免误差危害 条件数与病态问题 称 为计算函数值问题的条件数. 数值稳定性 若初始数据的误差在大量的计算下,传播不大,就认为该算法是稳定的。否则，就认为不稳定。 3.避免误差危害的若干原则 避免分母过小； 避免两相近数相减； 防止大数‘吃掉’小数； 简化计算步骤，减少运算次数。 河海大学理学院《数值分析》 数 值 分 析 Computational Method ? 记好课堂笔记 ? 保证课堂纪律 ? 按时完成作业 ? 按时上课，不迟到早退 几点要求 Chapter 1 绪论 ? 简介 1 引论 实际问题 建立数学模型 选择数值方法 编写程序 计算结果 对实际问题解释 若不合理 修 改 数值分析是计算数学的一个主要部分，着重研究适合于电脑使用的数值计算方法及相关理论 第二节 数值计算的误差 固有误差 计算误差 2 误差的定义 定义 设 x为准确值， x* 是 x的一个近似值，称 为近似值x*的绝对误差，简称误差。 e? = x??x 定义 称满足 的正数?*为近似值 x*的绝对误差限，简称为误差限。 定义 称 为近似值x*的相对误差。 常取 作为相对误差. 定义 称满足 的正数 为近似值 x*的相对误差限。 相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异 舍入误差:由于电脑的字长有限,参加运算的数据、运算的过程以及结果的存放,由此产生的误差称为舍入误差. 舍入误差:由于电脑的字长有限,参加运算的数据、运算的过程以及结果的存放,由此产生的误差称为舍入误差. ? 有效数字 定义 如果近似值 的误差限是其某一位上的半个单位，且该位直到 的第一位非零数字一共有n位，则称近似值 具有n位有效数字，用这n位有效数字表示的近似数称为有效数。 n位 误差不超过该位的半个单位 自左至右看，第一个非零数。 定义 若准确值x的近似值 x*用规格化形式表示为 则称近似值 有n位有效数字。 其中： *判别有效数字位数的两种方法： 1.定义法，2.公式法。 定理 令准确值x的近似值x?用规格化形式表示为 若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为 反之若x*的相对误差限 满足 则x*至少具有n位有效数字。 又 所以， 故， 所以， 至少有n位有效数字。 证毕 ? 和、差、积、商的误差 结论1 和的误差是误差之和. 结论2 和或差的误差限不超过误差限的和. 结论3 乘积的相对误差等于两数相对误差之和. 结论4 绝对误差可以近似地由微分运算来描述; 相对误差可以近似地由对数的微分来描述. 对多元函数u= f (x1, x2, ??? , xn)有关系式 误差传递公式 ……….. 例 设y=xn, 求y的相对误差与x的相对误差之间的关系. 例 设 ， ，求它们 的绝对误差限。 例 已知 的相对误差为 ，求 的绝对误差（限）和相对误差（限），又 若使 的绝对误差限或相对误差限是 ，则 的绝对误差限和相对误差限分别为多少 例 计算 并估计误差。 解 已知 取 算法1 7.552 -0.7280 0.2160 0.1120 0.1480 9 8 7 6 5 n 0.1704 0.2074 0.2642 0.3679 0.6321 4 3 2 1 0 n 又因为 所以 取 令 算法2 0.6321 0.3679 0.2643 0.2073 0.1708 0 1 2 3 4 n 0.1455 0.1268 0