数值分析（河海大学）ch2插值法.pptVIP

2. 1问题的提出 函数的插值就是对函数的离散数据建立连续的，简单的数学模型。具体说来，设函数 的离散数据为 2. 2拉格朗日插值 1. 线性插值与抛物插值 线性插值 设函数的离散数据为 例：已知 下列数据: 求线性插值及抛物插值函数，并求ln3.27的近似值。 定理：次数不超过n插值多项式是存在唯一的。 例 设 是插值基函数， . 证明： 。 解 由于 是次数 的多项式，它的拉格朗 日插值多项式为 ，据唯一 性，知 。 解毕 3. 插值余项与误差估计 称截断误差 为插值多 项式的余项。 2.5. 埃尔米特插值 在插值节点上不仅要求函数值相等，而且要求导数值甚至高阶导数值也相等，满足这种条件的插值多项式称为埃尔米特插值多项式. 2．3 牛顿插值 均差 1.定义：称 为 关 于点 的一阶均差(差商), 为 关于点 的二阶均差, 3.牛顿插值公式 2. 4 等距节点的牛顿插值公式 若插值节点 , 满足: , 称为步长，插值节点又可写为 ， 据此建立的牛顿插值公式称为等距节点的牛顿插值公式。 2.6 分段低次插值 高次插值的病态性质 实际上，满足插值条件越多不一定有插值 效果越好，龙格给出了例子， 取 个等距节点 构造拉格朗日插值多项式 ， 当 时， 随着 增大而增 大， 不收敛于 这一事实称为龙格现 象。 2 . 7 样条插值 1. 概念 定义：若 是分段三次多项式，且整体插值区间 上 有二阶连续导数，则称 是三次样条函数,又若 , 则称是三次样条插值函数。 常见边界条件 第一边界条件 ， ； 特别为自然边界条件 ； 第二边界条件 ， ； 周期边界条件 ， ， 2.样条插值函数的建立 (1)用节点处的二阶导数表示的三次样条插值（弯距法） (2)用节点处的一阶导数表示的三次样条插值（转角法） ， ； ； ， 记 积分: 设 为待定参数， 令 ， 代入 求导 对第一边界条件 共有 个变量 , 个方程。 对第二边界条件 共有 个变量 , 个方程。 解此三对角方程组后，再将解 代入到 的表达式中。 为 关于点 的k阶均差。 约定 的0阶均差。 为 关于点 有时也记为 。 2均差的性质 性质 1 f (x)关于节点x0, x1,???, xk的k阶均差可以表示为函数值 f (x0), f (x0), ???, f (xk)的线性组合,即 性质 2 对称性：均差与节点的排列次序无关。 如 性质 3 若 f (x)在[a