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§3.2 时间最优控制 时间最优控制问题，是可以运用极小值原理求解的一个常见的工程实际问题。如果性能指标是系统由初态状态转移到目标集的运动时间，则使转移时间为最短的控制称为时间最优控制，或称最速控制。 一、一类非线性系统的时间最优控制 问题1 移动目标集的一类非线性系统的时间最优控制问题为 正则方程为 边界条件和横截条件为 极小值条件为 若 ，则可运用极小值原理确定 此时称为正常情况。 若 ，则 在约束条件内任取，此时称为奇异情况。 正常的时间最优控制 定义1 设在区间 内，存在时间可数集合 使有 则时间最优控制是正常的。 正常的时间最优控制 奇异的时间最优控制问题 定义2 设在区间 内，至少存在一个子区间 ，使得对所有 至少有一个函数 则时间最优控制问题是奇异的，区间 称为奇异区间。 Bang-Bang控制原理 设 是问题1的时间最优控制， 是相应的状态向量和协态向量，若问题是正常的，则最优控制为 二、线性定常系统的时间最优控制 设计时间最优控制系统之前，总希望知道问题是否有解？是否有唯一解？问题是正常的还是奇异的？这种对一般规律的认识和了解有助于具体系统的设计。不幸的是，对于任意的非线性系统和任意的目标集，目前还没有解答这些问题的一般结论。但是，对于常见的目标集为状态空间坐标原点的线性定常系统的时间最优控制问题，可以回答上述问题。因为目标集是状态空间的原点，所以下述问题常称为时间最优调节器问题。 问题2 设完全可控的线性定常系统 使系统从已知状态 转移到状态空间原点 ，并使性能指标最小。 定理1 在问题2中，令 则当且仅当 时，问题2是正常的。 定理2： 若受控线性定常系统是正常的，且时间最优控制存在，则最优控制必定唯一。 上述两个定理适用于一般目标集的情况。 定理3：有限切换（开关次数）定理 设线性定常系统是正常的，系统矩阵A的全部特征值均为实数，时间最优控制存在，其分量为 。令 表示 的切换时刻，则 在两个边界值之间的切换次数 定理： 对于问题2，若系统正常，则最优解的必要条件为 （1）正则方程 其中哈密顿函数为 （2）边界条件 （3）极小值条件 （4）哈密顿函数应满足 三、双积分模型的时间最优控制 双积分模型： 问题3： 相平面分析： 相轨迹图 相轨迹图 1初始状态为 2 目标集为 3目标集为 特征值为虚数的情况 已知无阻尼震荡二阶系统的状态方程为 其中控制满足约束 求最优控制 使系统由任意初态 转移到原点的时间最短。 问题3： 第四章 二次型性能指标的线性系统最优控制 如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优化问题，称为线性二次型问题。 §4.1 线性二次型问题 二次型性能指标的物理含义 （1）末值项 对系统末态跟踪误差的要求 （2）第一过程项 对动态跟踪误差加权平方和的积分要求 （3）第二过程项 对系统加权后的控制能量消耗的总度量 几种重要的特殊情形 （1）状态调节器问题 （2）输出调节器问题 （3）跟踪系统问题 §4.2 状态调节器 所谓状态调节器问题，就是要求系统的状态保持在平衡状态附近。 一、有限时间状态调节器 问题4.1 设线性时变系统状态方程为 1 最优解的充分必要条件 定理4.1 对于最优调节器问题4.1，最优控制的充分必要条件是 最优性能指标为： 2 黎卡提方程解的若干性质 是唯一的 是对称的 是非负的 最优解的存在性和唯一性 定理4.2 对于最优调节器问题4.1，若 有限，则最优控制 存在且唯一。 例 已知一阶系统状态方程为 性能指标 试求最优控制 及最优指标 。 二、无限时间状态调节器 1 无限时间时变状态调节器 问题4.2 设线性时变系统状态方程为 性能指标 要求确定最优控制使性能指标极小 定理4.3： 对于无限时间时变状态调节器问题4.2，若阵对（A（t），B（t））则完全可控，则存在唯一的最优控制 最优性能指标为： 关于定理4.3，有如下几点注记 定理4.3对系统提出的完全可控性要求，是为了保证最优解的存在 （2）对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终点指标，取权阵F＝0 （3）对于无限时间时变状态调节器，由于黎卡提方程在边界条件下的稳态解仍然为时变矩阵，因而最优控制律是