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Ch.7 最优控制原理 本 章 简 介(1/1) 本 章 简 介 本章讨论最优控制问题初步,目的是使读者掌握求解最优控制问题的主要理论和方法,能对一些常见的最优控制问题进行有效的分析和求解。 主要内容包括 泛函基础、 变分法和极大值原理、 线性二次型最优控制问题,以及 离散系统的最优控制问题。 本章最后介绍基于Matlab的线性系统的线性二次型最优控制系统的设计计算与运动仿真问题的程序设计与仿真计算。 目录(1/1) 目 录 7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结 最优控制概述(1/1) 最优控制概述 从20世纪50年代末迅速发展起来的现代控制理论中,最优控制是其中一个主要内容,亦是目前较活跃的一个分支。 最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的,它的发展与航空、航天、航海的制导、导航和控制技术密不可分。 下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题,然后讨论最优控制问题的描述及数学表达。 内容为 最优控制问题的提出 最优控制问题的描述 最优控制发展简史 最优控制问题的提出(1/1) 7.1.1 最优控制问题的提出 考虑下面几个实际最优控制问题的例子。 飞船的月球软着陆问题 间歇化学反应器的最大产量控制问题 连续搅拌槽的温度控制问题 飞船的月球软着陆问题(1/3) 1) 飞船的月球软着陆问题 飞船靠其发动机产生一个与月球的重力方向相反的推力,以控制飞船实现软着陆,即落到月球时的速度为零。 问题要求选择发动机推力程序,使飞船携带的燃料最少或着陆时间最短(最速升降问题)。 设飞船的质量为,高度和垂直速度分别为和,月球的重力加速度可视为常数,飞船的自身质量及所携带的燃料分别为和。 若飞船于某一初始时刻起开始进入着陆过程,由牛顿第二定理和物料(燃料)平衡关系可知,飞船的运动方程为 飞船的月球软着陆问题(2/3) 要求控制飞船从初始状态 h(0)=h0, v(0)=v0, m(0)=M+F 出发,在某一末态时刻tf实现软着陆,即 h(tf)=0, v(tf)=0 控制过程中,推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力fmax,即 -fmax?f(t)? fmax 满足上述约束条件,使飞船实现软着陆的推力程序并非一种,其中消耗燃料最少的称为燃料控制问题,着陆时间最短的称为最速升降问题或时间最优控制问题。 飞船的月球软着陆问题(3/3) 这两个问题可归结为分别求 J1=m(tf) J2=m(tf) 为最小的数学问题。 间歇化学反应器的最大产量控制问题(1/3) 2) 间歇化学反应器的最大产量控制问题 设间歇化学反应器内进行如下常见的化学反应 式中,k1(t)和k2(t)为反应速率常数,并与温度T满足如下关系 该化学反应式可代表一大类化工操作,通常希望中间产物B的产量尽可能大,因而要求防止后面的反应继续进行下去。 间歇化学反应器的最大产量控制问题(2/3) 为更清楚地讨论上述产量最大的控制问题,设化学反应式的第一步反应是二级反应,第二步反应是一级反应。 这样,可得如下间歇化学反应器内的物料平衡方程 式中,C1(t)和C2(t)分别是物质A和B的浓度。 将反应速率常数k1(t)和k2(t)代入上式,则有 设反应时间区间[t0,tf],反应器内温度T(t)满足 T*?T(t)?T* t0?t?tf 间歇化学反应器的最大产量控制问题(3/3) 该问题的目标是确定反应器内温度T(t)应该如何变化,才能使在时刻tf时B物质的产量C2(tf)为最大,即归结到在约束条件下,求 J=C2(tf) 最大的数学问题。 连续搅拌槽的温度控制问题(1/2) 3) 连续搅拌槽的温度控制问题 设有一盛液体的连续搅拌槽,如图7-1所示。槽内开始装有0oC的液体,现需将其温度经1小时后升高到40oC。 连续搅拌槽的温度控制问题(2/2) 因假定槽内液体温度均衡,设为x(t)。 由题设条件可知,x(t)的边界条件为 x(0)=0oC, x(1)=40oC 由热力学知识可知,槽内的液体温度的变化率与温差[u(t)-x(t)]成正比,即 式中,k1为比例系数。 我们的目标是确定流入的液体的温度u(t)如何变化,使得散失的热量最少,即归结为在上述状态方程和边界条件下,求函数 最小的数学问题。 最优控制问题的描述(1/1) 7.1.2 最优控制问题的描述 从前面的应用实例可以看出,最优控制问题可以抽象成共同的数学问题描述,这将给最优控制理论的研究带来方便。 所谓最优控制问题的描述,就是将通常的最优控制问题抽象成一个统一描述的数学问题,并用数学语言严格地表述出来。