卷积.循环卷积与OFDM.docx

PAGE18 / NUMPAGES18  MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT  SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT  SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT 卷积、线性卷积、循环卷积与OFDM中的循环前缀CP 摘要：本文主要讲述了卷积的定义及如何理解卷积，用离散样值近似计算连续卷积的方法，用循环卷积计算线性卷积的方法，用线性卷积计算循环卷积的方法，以及后者在OFDM中的应用（循环前缀CP），并给出了相关的Matlab代码和实例进行验证和说明。目的是为了建立起连续信号处理与离散信号处理之间的联系。与本人在百度文库中的 HYPERLINK /view/658ca8086c85ec3a87c2c5c7.html 连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系、 HYPERLINK /view/2e88607a5acfa1c7aa00ccce.html 从DTFT到DFT，计算频谱，并由频谱反求时间样点，为三部曲。 连续信号卷积的定义及实质 众所周知，当信号x(t)通过具有单位冲击响应为h(t)的因果LTI系统时，其输出信号y(t)是前二者之间的线性卷积：  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1) 其中假设单位冲击响应在[0 T]之外的值都是0。 从数学上来看，要得到第二个积分公式中的h(t-τ)，需先把h(τ)先以τ＝0的轴进行时域翻转，然后再向右移动t个单位。 h(τ) h(-τ ) h(1-τ ) x(τ ) 移位对齐后相乘并积分（t=1） 图1.从上到下依次为h(τ), h(-τ), h(1-τ), x(τ), h(1-τ)* x(τ) 在上面这个图形例子中，取t=1，故公共区间为[0,1]这个区间，故卷积积分的区间也是这个公共区间，即  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2) 上面图中的卷积结果将是一个分段函数。 上面的例子中，由于h(t)是连续的，故其与x(t)卷积的意义并不直观。下面我们令  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3) 这是一个典型的多径时延信道的抽头延迟线（TDL）模型的单位冲击响应。由于  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4) 所以x(t)通过 GOTOBUTTON ZEqnNum817335 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum817335 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (3)式表示的信道h(t)后得到：  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5) 是各个信号延迟加权后的版本。 这其实揭露了信号卷积的本质：当信号x(t)通过LTI系统h(t)时，信号x(t)的不同延迟版本x(t-τ)分别被系统单位冲击响应在该延迟上的取值h(τ) 进行加权，把所有这样的加权延迟信号进行求和，即得到二者的卷积（当h(t)为连续系统时，求和变为取积分）。这就是公式 GOTOBUTTON ZEqnNum793971 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum793971 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (1)第一个积分的含义。而这只不过是 GOTOBUTTON ZEqnNum24