反证法(一).ppt

第三节反证法 (第一讲) 例11 如果在小数点后接连写出一切自然数, 得无限小数为 0.123456789101112…, 试 证它是一个无理数. 证明 设这个数是有理数,即为循环小数,并且 循环节由n位数码组成. 由于自然数100…0 (共有2n个0)必在小数中出现, 故它至少有一 个循环节. 这说明循环节的各位数码全是0. 显然,这是不可能的. 故它是一个无理数. 例12 6、无法正面证明的全称命题及其它命题 已知在20个城市之间有172条航线,试证: 利用这些航线可以从其中的任何一个城市 飞抵其余任何一个城市(包括中转后抵达). 证明 设有城市Ａ,由Ａ只能飞抵其余n(n＜19) 个城市. 将所有城市分为两类： 一类是Ａ及由Ａ可 飞抵的城市,记为Ｘ; 另一类的由Ａ不能飞 抵的城市,记为Ｙ. 则 且Ｘ、Ｙ之间无航线相连. 航线总数不超过 于是, Ｍ＝ 注意 由二次函数的性质知, Ｍ≤171. 与航线有172条矛盾. 故原命题成立. 不太容易. 正面处理时要证一串角相等, 备用题 例13 设凸五边形ABCDE各边相等, ∠Ｂ≥∠Ｃ≥∠Ｄ≥∠Ｅ, 且∠Ａ≥ 正五边形. 试证该五边形是 分析 改用反证法尝试. 证明 设∠Ａ＞∠Ｅ． 与△EAD 为等腰三角形 , AB=AE=DE, 可得BE＞AD. 考虑△ABE 抓住极端元素反设 且腰 * * 多, 是无理数等等)都是用反证法证明的. 数学证明有直接证明与间接证明两种,反证法是间接证法的一种. 反证法是数学证明的大法,一个命题,在无法直接正面证明或不易证明时,可应用反证法进行尝试． 历史上许多证明的命题(如:质数有无限 由此可见,反证法的证题特点就是在题设中 一、反证法的理论依据及证明过程 １、反证法的逻辑依据是 (C为任意命题) 增加否定结论的条件再进行证题. 不相容的命题的合取式都构成矛盾, 由于任一对 所以条件 反证法独到的优点. 的增加以及对导出矛盾的宽松限制, 就形成了 例1 设有长度分别为 的5条线段, 其中任何3条都可以组成一个三角形. 试 证：其中必有锐角三角形. 分析 问题的条件较平稳,组成的三角形较多. 想正面具体指出具有特殊性质的三角形的 存在性较困难,缺乏信息. 方法有反证、分类、排序等手段. 增加信息的常用 这里可考虑反证法． 证明 设任意３条给定线段组成的三角形是钝 角或直角三角形. 增加了已知信息 证明 设任意３条给定线段组成的三角形是钝角 或直角三角形. 不妨设 由角的特点及５条线段的大小关系, 由余弦定 理可得 三式相加得 即 这与 可组成三角形矛盾. 故给定线段组成的三角形中必有锐角三角形. 例2 [雪尔维斯特(Syloester）问题] 平面上任给n个点(n≥3),已知过其中任意 两点的直线都经过其中另一点, 试证: 这n 个点在同一直线上. 说明: 本题由英国著名数学家Syloester提出, 历经50年无人解决. 后来被一无名小卒用 反证法解决. 证明 设点 对任一直线 至少有一个 不在 上, 记 到 的距离为 则在有限个实数 中,必有一个最小的数 (设为 ). 依题意,此时直线 上还有至少一点 不妨设 在 之间 之外时,以 ( 在 或 代替 同理可证), 的 距离分别为 则 不共线. 且 到 上述证明除用到反证法外,还用了极端 故这n个点在同一直线上. 矛盾. 说明： 性原则. 2、反证法的证明过程 关于反证法的证明过程 , 法国几何学家 J·阿达马 有一段精彩的概括: “这个证法在于 表明:若肯定定理的假设而否定结论,就会导 导出矛盾.” 可见反证法的步骤可归结为: (1)反设—--设结论的反面成立; (2)归谬—-- 从反设和题设条件出发,推出矛盾; (3)存真—--肯定结论成立. 由于反证法的关键是得出矛盾,因此,反证法 又称为归谬法. 二、反证法的种类 反设是反证法的出发点, 如果反设只有一 种情况,相应的反证法称为简单归谬法; 如果 反设不只一种情况, 则相应的反证法就称为 穷举归谬法， 此时需分别在各种情况下一一 推出矛盾, 从而说明原结论成立. 反证法 简单归谬法 穷举归谬法 例３ 设整数k不能被５整除, 问 能否 写成两个次数较低的整系数多项式的乘积? 证明 假设能.则有 或 若为前者, 则 是 的根, 即 ∴ 这与题设矛盾. 若为后者,即 比较系数知 代入第四式得 代入第