同济第三版-高数-(8.3) 第三节 全微分.ppt

多元函数变化的一般过程对应于函数的全 增量，由于全增量的表达式通常相当复杂，直 接对其进行讨论有困难。为便于讨论有必要寻 函数全增量的简洁的表达形式，全微分就是讨 就是讨论函数全增量的线性化问题。 设有二元函数 z = f( x ,y )，若其在一点( x0 ,y0 )处 x、y　分别有增量 ? x、? y，则其全增量形式为 ? z = f( x0 + ? x ,y0 + ? y )- f( x0 ,y0 ). 全增量形式一般相当复杂，直接讨论较困难。因此 有必要寻求全增量简洁的表达形式。 最简单的函数形式是线性函数， 因此考虑能否将函数的全增量 ? z 表示为 ? x、? y 的线性函数。 将二元函数的全增量近似地表为 ? x、? y 的线性函 数就是要考虑选择适当的系数 A、B，使得 ? z = f( x0 + ? x ,y0 + ? y )- f( x0 ,y0 )? A ? x + B ? y ， 且希望其误差 ? z -( A ? x + B ? y )尽可能地小。 所谓使误差尽可能地小就是使误差相对于动点 P( x ,y )与定点 P0( x0 ,y0 )之间的距离 ? = ?P0 P ?尽可 能地小，即希望有 ? z -( A ? x + B ? y )= o( ? )， 或 ? z = A ? x + B ? y + o( ? )， 其中， 如果二元函数 z = f( x ,y )在点( x ,y )处的全增量 ? z = f( x + ? x ,y + ? y )- f( x ,y )， 可表为 ? z =( A ? x + B ? y )+ o( ? )，其中 A、B 不依赖 于 ? x、? y，而仅与 x、y 有关， 则称 z = f( x ,y )在点( x ,y )处可微分，而 A ? x + B ? y 称为函数 z = f( x ,y ) 在点 ( x ,y ) 处的微分，记作:d z， 即 d z = A ? x + B ? y . 若二元函数 z = f( x ,y )在区域 D 内每一点都可微， 就称函数 z = f( x ,y )在区域 D 内可微。 (1) 二元函数全微分的定义 (2) 讨论函数微分的意义 多元函数全微分的概念是一种使函数增量线性化的 思想和方法，利用这一方法可以使对函数的研究简化， 这也是微积分的基本思想。 例如，若 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处可微，则存在与 ? x 、? y 无关的数 A、B ，使得 ? z = A ? x + B ? y + o( ? )， 从而有 　　由此可知函数 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处连续。 多元函数全微分只是为研究函数增量建立的概念。 函数在一点处的增量是否总可线性化还不得而知，因此 必须研究可微概念的可行性，即研究函数可微的条件。 研究命题条件通常可分两步进行，即先讨论命题成 立的必要条件，再考察必要条件是否充分。 如果必要条件也是充分条件，则求 得了命题的充要条件，此时问题的解 决是圆满的。如果必要条件不是充分 条件，则需进一步考察还应增加什么 条件才可得命题成立的充分条件。 (3) 可微条件的讨论 讨论函数可微的必要条件 设函数 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处可微，则存在不依 赖于 ? x、? y 的数 A、B ，使得 ? z = f( x + ? x ,y + ? y )- f( x ,y )= A ? x + B ? y + o( ? ). 为将函数增量具体线性化，需确定 A、B 的值。 　　先确定 A 的值，取 ? y = 0，则相应函数增量化为 f( x + ? x ,y )- f( x ,y )= A ? x + o(?? x? )，于是有 即 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处的偏导数 fx?( x ,y ) 存在，且 有 fx?( x ,y )= A . 同理可求得 即 z = f( x ,y ) 在点( x ,y )处的偏导数 fy?( x ,y ) 也存在， 且有 fy?( x ,y )= B . 由上讨论知： 若函数 z = f( x ,y ) 在点(