吴传生第二章行列式Cramer法则.ppt

第二章 行列式 例2 ，故 上式右端的行列式是一个 阶范德蒙行列式 其中 按归纳法假设，它等于所有 因子的乘积 例3 计算 阶行列式 解 行列式中每行元素之和均为 ，从第 第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子 ，然后各行减去第1行： 在上述诸例将行列式化为上三角行列式的过程 中，虽然我们用到了性质2，4，6中的各种运算， 但是起关键作用的是运算 ，其他几种运算 只是使计算过程变得简单一点而已．稍作分析，便 不难发现任何阶行列式总能利用运算 化为 上三角形行列式，或化为下三角形行列式． 类似，利用运算 也可把行列式化为上三角 形行列式或下三角形行列式． 例4 设 证明 证 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为 于是，对 的前 行作运算 ，再对 的后 列作运算 ，把 化成下三角行列式 即 6.克拉默（Cramer）法则 对方程个数与未知量的个数相等的如下的线性方程组 定理1（克拉默法则） 的行列式 ,那么线性方程组（1） 有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表 示为 如果线性方程组（1）的系数矩阵 Cramer法则 n 阶行列式的定义、性质及计算方法 克拉默（Cramer）法则 1. 二阶行列式 对于给定的二元线性方程组 其系数矩阵 是一个二阶方阵. 用消元法求解线性方程组（1），得 该式中 的系数 称为由二阶 方阵 所确定的二阶行列式，记为 矩阵 的行列式还记作 或 ，即 一般地，二阶行列式 可按下图所示的对角线法则确定其值： 方阵与矩阵的区别：二阶方阵是 个数按确定的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些数（也就是二阶矩阵 ）按一定的运算法则所确定的一个数． 例1 求解二元线性方程组 解 因为 所以 定义 对于一个给定的3阶方阵 2. 三阶行列式 将之与数 相对应，那么这个数就称为由矩阵 所确定的三阶行列式 记作 例2 计算三阶行列式 解 利用消元法求解，则可得方程组的解为 对于三元线性方程组， 如果它的系数行列式 为书写方便，将之记成 其中 是用常数项 替换 中的第 列所得的三阶行列式，即 例3 解三元线性方程组 解 3. 阶行列式 （1）设 是一阶方阵，则它所 确定的一阶行列式 定义成 数 ． 采用递归的方法给出其定义： （2）二阶矩阵 ，它所定 义的二阶行列式 （3）对于三阶矩阵 所确 定的三阶行列式 即 （4）假设由 阶方阵所确定的 阶 行列式已有定义，那么， 阶方阵所确定 的 阶行列式用归纳法定义为 那么，上述行列式的定义可记为 将 阶矩阵 的元素 所在的第 行第 列处的元素划去后， 中剩下的 个元素按原来的排列顺序组成 阶矩阵所确定的行列式记作 ，称之为 的余子式， 为 的代数余子式 数 也称为行列式 的第 行第 列处的元 素 ，而元素 ， ， ， 所在的对角线称为行列式的主对角线； 另一条对角线称为行列式的次对角线． 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即 该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然． 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号． 推论 若行列式两行(列)完全相同，则此行列式为零． 推论 方阵的某一行（列）的元素与另一 行（列）的对应的代数余子式乘积之和等 于零，即 性质3 行列式按行（列）展开法则 行列式等于对应于它的方阵的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即 性质4 行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用数乘