固态电子2013-第四章.ppt

第四章 晶格振动;§4.1 一维单原子链的振动;在平衡位置时，两个原子间的相互作用势能为U(a);则在振动时，原子受到的恢复力为：;根据牛顿定律; 二、格波的意义 晶体的格波与连续介质波具有完全相同的形式。一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动，在简谐近似下，格波是简谐平面波，波矢 q=2π/λ; 三、格波波矢的取值和布里渊区 ; 四、玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 以上的讨论是将一维单原子晶格看作无限长来处理的，这样所有原子的位置是等价的，每个原子的振动形式都一样。实际的晶体都为有限的，形成的链不是无穷长，这样链两头的原子就不能用中间原子的运动方程来描述。玻恩－卡门（Born-Karman）提出采用周期性条件可解决上述困难。如图4.4所示。 ; 由N个原子头尾相接形成一个环链，它保持了所有原子等价的特点，当N很大时，其中的原子振动仍近似为直线运动。第n个原子和第N+n个原子应该为同一原子，他们的振动也应该相同，即μn= μn+N;五、色散关系;⒈频率ω的取值范围 频率ω是波矢q的偶函数，如图4.6。 由（4.1.11）解出 色散关系曲线是周期性的 在q空间的周期为：2π/a 频率的极小值为：ωmin=0; 频率的极大值为：; ⒉长波近似和短波近似 长波近似：当q→0，即波长λa（λ→∞）时，色散关系如图4.7中蓝线所示。在长波极限下一维单原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色散关系一致，因此在长波极限下，对于一维单原子晶格格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续介质。 ; 长波极限下，相邻两个原子之间振动的位相差qa→0，此时λ→∞，一个波长内包含所有原子，晶格可以看作是连续介质，如图4.8(a)所示。 短波近似：当q→π/a时，ω取极大值。格波的波长λ=2a，相邻原子的振动位相相反，如图4.8(b)所示。; ⒊色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性 前面已经说过，格波频率ω是波矢q的周期函数，周期为（2π/a），正好为一维原子链的最短倒格矢，即ω(q)= ω(q+Kh)，称为倒格子平移对称性，其中Kh为倒格矢。 ω(q)= ω（－q）－―倒格子反演对称性。 关于色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性的这两个结论对三维晶格也是适用的。 ;*结论*： 对含N个原子的一维单原子晶体（即一维简单晶格） ⒈可用格波来描述晶格的振动； ⒉格波的波矢q在第一布里渊区内取N个不同的分立值，每个q值对应一个ω,一组（ω，q）对应一个格波，则晶格的振动可用N个独立的格波（即N个独立的简正模式）来描述； ⒊这N个格波的频率ω与波矢q的关系由同一条色散曲线所概括，即这N个格波属于同一种格波； ⒋晶格中每一个原子都参与了这N 个独立的简谐振动，任何一个原子的实际振动是这N个格波所描述的简谐振动的线性叠加。 ;§4.2 一维双原子链的振动;牛顿运动方程： 方程解的形式： 因为Mm，复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的，即A和B一般不同。 ; 整理后得到ω与q的关系： 由关系式可以看出，ω与q之间存在着两种不同的色散关系，我们称一维双原子晶体中可以存在两种独立的格波。; 二、波矢的取值 当波矢 时，所有原子的振动不变。为了保证波函数的单值性，一维复式格子q的值限制在： -π2aq≤π，则 对含N个原胞的有限晶体 ; 三、色散关系——声学波与光学波 一维复式格子中存在两种不同的格波的色散关系： 也就是说，对一个q会有两个ω与之对应，形成两种不同的格波形式。链接 对ω-一支：当q→0时，(ω-min)→0； 当q→±π/2a时， 称该支格波为声频支格波，简称声学波。;对ω+一支： 当q→0时， 当 时， 我们称该支格波为光频支格波，简称光学波。 ;四、长波极限下格波的意义