图形变换相似三角形综合应用.doc

相似三角形综合应用 内容 基本要求 略高要求 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 模型一 角分线模型 1、内角平分线 是的角平分线， 【证明】过作交直线于. ， ， 又平分， ， ， ， 由可得：， 2、外角平分线 的外角平分线交对边的延长线于， 【】过作交直线于. ， ， 又平分， ， ， ， 由可得：， 模型二 梯形模型 若，则 考点一 与公共边有关的相似问题 如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：与；与；与；与，其中相似的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D，∴，故 如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：. 【解析】可通过射影定理转化成证明，证明即可. 如图，中，，于为的中点，的延长线交于． 求证：． 【答案】，为中点，，，又，，又，，，又，，，． 中，过直角顶点作斜边的垂线，取的中点，连接并延长交的延长于点，求证： 【解析】， 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于， 求证：． 【答案】连接垂直平分，，，即，又，，平分，，，又，，．又， 【巩固】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于， 求证：平分． 【答案】连接，垂直平分，，，∴，又∴，，，，，，即平分． 已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：． 【解析】，．又，，， ，∴，，即，，． 与旋转有关的相似问题 如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 如图，四边形和均为正方形，求_________. 【答案】连接。，∴ ∴∵∴∵ ∴∴∴ ∴∴ （1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：． （2）如图2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：是否有？证明你的结论． 【答案】（1）由，得，故． （2）由，得，故． 如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是________． 【解析】设的面积为，则，故． 【答案】 如图所示，是一个凸六边形，、、分别是直线与、与、 与的交点，、、分别是与、与、与的交点，如果，求证：． 【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、、集中到一起构成一个与相似的三角形． 如图所示，将平移至位置，则，且， 所以，且， 因此，从而，且． 这说明，且，进而，且． 又因为，于是，所以，注意到，，故． 已知：的高所在直线与高所在直线相交于点． （1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：； （2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是_________； （3）在（2）的条件下，若，，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长． 【答案】（1）证明：∴， ∵，∵， ∵，∴∵ ∴，∴， （2） （3）如图， ，∵，， ∵，，∵∴ ∵，由（2）知，∴，为等腰直角三角形 分别过，作于点 于点四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵∴∵ ∴∴∴∴ ∵∴∵ ∴∴ ∵∴∴， ∴∴ 考点四 与相似有关的动点问题 如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？ 【答案】，设， ， 即，解得（负值已舍去） 设经过后与相似．此时 本题需分两种情况： （1）当时， ，即，解得 （2）当时， ，即，解得． 综上，当秒或秒时，与相似 如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间． （1）当为何值时，为等腰直角三角形？ （2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论． （3）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似． 【答案】（1）当为等腰直角三角形时，， ， （2），即四边形的面积为定值． （3）分2种情况 当时，，即，解得． 当时，，即，解得． 综上当或时，以点为顶点的三角形与相似． °，过点C作CD⊥AC交AB于点D．的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，则DP的长为_________． （09年浙江丽江中考试题）