垂直于弦的直径(课堂).ppt

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 驶向胜利的彼岸 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). ●O 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). AB ⌒ 以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”. AB ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). ⌒ ADB 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母). A B C D 复习旧知 驶向胜利的彼岸 你能找到多少条对称轴？ 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. ●O 问题：把圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？ 结论：圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴. 垂直于弦的直径 问题：已知：在⊙O中，AB是弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E，图1是轴对称图形吗？ 在图1中，你能找到哪些线段相等？圆弧呢？证明你的结论. 图1 分析：在Rt△AOE和Rt△BOE中，利用HL定理证明两三角形全等可得AE=BE. 利用轴对称可知 . 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径 图1 问题： 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径.（精确到0.1米） 垂直于弦的直径 垂直于弦的直径 解：连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE=3cm，AE=BE 【例1】已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径. ?AB=8cm， ∴AE=4cm. 在Rt?AOE中，有OA= = =5（cm）. ∴⊙O的半径为5cm. 【解析】此题可用三角形全等来证明，构造△AOC与△BOD即可；但是若利用垂径定理来证明 会更简单. 【例2】已知：如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于CD两点.求证：AC=BD. 图1 证明：过O作OE⊥AB，垂足E， 则AE=BE，CE=DE. ∴AE-CE=BE-DE. 即AC=BD. 垂直于弦的直径 图1 解：过O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C,则CD为拱高， 【例3】如图2，若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高. 图2 则AD= AB=4， 在Rt△AOD中，d= ∴CD=2. 垂直于弦的直径 1.圆既是 图形,又是_________对称图形,它的对称轴是________________________, 对称中心是__________. 2.已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_______. 3. 已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________. 垂直于弦的直径 中心 圆心 过圆心的任一条直线 60° 5 轴对称 3≤OP≤5 10 相等 垂直于弦的直径 5.如图1,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围____________________. 6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径__________m. 7.如图3,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB, CD=CE, 则 与 的大小关系是_______________. 图1 图2 图3 弧的符号不对 8．圆中两弦CD与AB互相垂直,垂足为E, 若DE=3厘米, EC=7厘米,则圆心到AB的距离OF是_______厘米． 9. P为⊙O内一点, PO=3cm, 过P的最短弦为8cm, 则过P的最长弦的长等于_______． 10. AB⊥CD,垂足为E， CD为⊙O直径, 且AB=20, CE=4, 那么⊙O的半径是_____． 2 10cm