基础题解析81-100.doc

81、已知的分布列如下： 则 解析：由分布列得：； 故：. 82、在平面上有两个关于直线对称的圆和圆，点、点分别为圆和圆上的动点，则的最大值为： 解析：圆的标准方程 为： ① 采用参数方程则：，即： ，即： 于是，圆上点的坐标为： 点到直线的距离为： ② 由②得点到直线的最大距离为： 故：则的最大值为：. 83、已知变量满足条件 则目标函数的最大值为： 解析：这是线性规划题目，用作图法可简明解答. 图中红线下方为：；蓝线上方为：； 绿线下方为：. 目标函数的值域就是由圆点所围的三角形内部. 将三角形的三个端点坐标：， 由于点的值最大而值最小，故目标函数在此得最大值：. 84、函数的值域为： 解析：分母不为得： ① 根号内为非负数得：，即： 即：，即：，即： ② 由①②得定义域： ③ 下面求函数的极值. 令：，则 ④ 则函数在其极值处导数为. 即：，即： 即：，即： 即：，即： 则：或. 代入得： ⑤ ⑥ 以及函数的边界值： ⑦ ⑧ 区间内极值和边界值决定了函数的值域. 故由⑤⑥⑦⑧得函数值域为：. 85、在中，是上一点，若，则 解析：根据平面向量三点共线定理：若三点共线 则有：，且. 故本题：. 其实画图更直观，如图： 由图得，本题答案为： 解析解法： 由图： ① 及： ② 由①得： ③ 由②得： ④ 由平面向量三点共线定理及③+④得： ⑤ 由⑤得：，即： 故：. 86、已知均为正数，且，则的最小值为 . 解析：由得：，则： 构建函数： ① 函数的导函数： ② 当函数取极值时，其导数为，则： 即： ③ 由③的系数组合可知，是方程③的一个解，即是的因子. 采用长除法或待定系数法进行因式分解，我们采用待定系数法. 设： ④ 则： 比较系数得：且，故 将代入④式得： ⑤ 由⑤的次数组合可知是的解， 即是的因子. 代入⑤式得： 故②式为： ⑥ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，达到极小值，即最小值. 的极小值为：. 87、已知数列的前项和为，且，则 . 解析：由得： ① 则由①得： ② 由①-②得： ③ 由③得：； ； …… . 上面各式相加得： ④ 由②式得：，即： 将代入④式得：. 88、双曲线（均为正数）与椭圆交于四点，分别记四边形的周长和面积分别为和，则的最大值为 . 解析：不用理会双曲线，直接无视它. 代替它的是四边形为以原点为对称中心的矩形. 若设第一象限的点坐标为，则，，. 于是，，，故： ① 本题采用参数法： 椭圆的标准方程为： 采用参数法时，设， ② 将②式代入①式得： ③ 设函数： 则： 故： 故：的最大值为：. 89、设函数，则 解析： ； ； …… . 上述各式相加得：. 90、已知，，则 . 解析：因为，所以. 本题是考三倍角公式. 三倍角公式： ① ② 由①②可得： 由①得： 由②得： 故：. 91、点在直线，点在直线上，则单位向量在方向上的投影为 . 解析：本题实际是求两直线夹角的余弦值（取正）. 的斜率为：；的斜率为： 则与夹角的正切值为： 故：. 单位向量在方向上的投影为. 92、在如图所示的矩形纸中，，，沿折叠使两点的距离为，则折叠后的三棱锥的体积为 . 解析：为了直观明了，已知尺寸已标于图中. 图中，为直角三角形，其面积为： ① 沿折叠使移动到点，则 此时为三棱锥的高. 在中， 所以为等边三角形， 故： ② 三棱锥的体积为： . 93、双曲线的渐近线与左准线围成的封闭图形的面积为 . 解析：双曲线的渐近线方程为：，即： ① 由“准线方程准焦距，方方除以”得左准线方程为： ② 由方程①②组成的封闭图形是一个三角形，这个三角形的三个顶点坐标为： 由三点组成的三角形的面积为：. 94、在正方体内方两个相同的球，记正方体的体积为，单个球的体积为，则的最大值为 . 解析：当两个球相切，且与三个立方体表面相切时，占空比最大. 画过这条对角线的剖面图. 球心，立方体体心. 设球半径为，则：， ，， . 设立方体边长为，则：， ，. 于是： 即：，即： 故： . 95、在中，，，直线与交于点，若，则 . 解析：画图. 过作交于；过作交于. 则： ① 由已知： ② 由于在线上，在线上， 故由①②得：，，即：， 则： ③ ④ 同时： ⑤， ⑥ 由③得：，由⑥得：，代入得： ⑦ 由④得：，由⑤得：，代入得： ⑧ 联立⑦⑧解得：， 则：. 96、 . 解析：因为 所以： ① 由积化和差公式：得： ② ③ ④ 将②③④代入①式，并应用得： 故：