复习(第六章 多元函数微分学).ppt

* * 多元函数求极限的一般方法： 2）转化为一元函数求极限; 4）极坐标变换; 3）夹逼原理; ·无穷小乘以有界变量仍为无穷小 ·重要极限公式 ·无穷小量等价替换等等 1）定义、连续性; 5）极限不存在的判别方法. D 提示 （B） （A） （C） 极限不存在 ● ● ● 求下列极限 解（1） （2） 。。。。。。。 (3) ● 证明极限 不存在 解： 沿 有: 沿 有: 所以极限不存在. 解 令 故函数 在（0,0）连续. ● 连续、偏导数、方向导数、可微之间的关系： 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数偏导存在 方向导数存在 1) 2) ？ 注：沿梯度方向方向导数最大，其最大值为梯度的模； 沿梯度反方向方向导数最小，其最小值为梯度的模的负值； 沿与梯度垂直方向方向导数为零。 求偏导数方法 1) 定义 2) 复合函数求导法则(掌握一阶二阶偏导数的求解方法) 分段函数在分段点处的偏导数 抽象函数在某点的偏导数问题 3) 隐函数微分法(掌握一阶二阶偏导数的求解方法) （记住一元函数求导的公式和法则） 4) 高阶偏导数 设 求 ● 提示 或 ● ● 已知 则（ ） （B） 不存在， 存在 （A） 都存在 （C） 存在, 不存在； （D） 都不存在 B 提示：利用偏导数定义求 (B) ，则 设 （A）0； （B）1； （C）2； （D）不存在。 提示：利用偏导数定义求 （无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量） (1) 所以在（0,0）处连续 (2) 同理 故在(0,0)处 ，两个偏导数都存在。 解 ● （3） 故 在（0,0）处可微。 不存在 故 在（0,0）处不连续， 同样 在（0,0）处也不连续 （4） 函数 在区域 D内的一切方向的方向导数都存在，则 (A) 在 D 内偏导数存在； (B) 在 D 内不一定存在偏导数； (C) 在 D 内可微； (D) 各方向导数相等。 √ ● 若 求 ● 解 由 两边对x求导可得 设 ，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 ， 。 ● 解 设 有连续的二阶偏导，求 。 ● 解 ● 设 ，求 . 解 求 设 具有连续的二阶偏导数，且 ● 解： 已知 ，其中 是由 所确定的隐函数，求 ● 方程 两边对 求导，得 解 ● 设 有连续偏导数， 和 分别由方程 和 所确定，求 解 ● 解 ● 证 同理 1) 平面曲线： 2) 空间曲线： （法向量) 偏导数的几何应用 曲线切向量求法： ● 或 或 这两个方法最简便 利用隐函数求导得到 或 或 = 曲面法向量求法： 1) 曲面方程： 2) 曲面方程： ● （1） ● ● ● (A) (B) 曲面 在点 的法向量为 (C) 曲线 在点 的切向量为 (D) 曲线 在点 的切向量为 化为参数方程 提示 C 试证曲面 在任一点 处（其中 的截距之和为常数. ）的切平面在三个坐标面上 ● 曲面上任一点 处的切平面方程为 解 故在三个坐标轴上的截距之和为：