复合函数及其求导法则.ppt

1．了解复合函数的定义，并能写出简单函数的复合过程； 2．掌握复合函数的求导方法，并运用求导方法求简单的复合函数的导数． 本节重点： ①导数公式和导数运算法则的应用． ②复合函数的导数． 本节难点：复合函数的求导方法． 1．若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足的关系． 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集． 2．求复合函数的导数处理好以下环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数． [分析]　抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则． [解析]　(1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12. 开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤进行，待熟练后可简化步骤如下： y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12. (6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [点评]　法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数． [例3]　某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间的距离对时间的瞬时变化率是________km/h. [分析]　瞬时变化率就是位移s对时间t的导数． [答案]　－1.6 [点评]　导数在实际问题中有着广泛的应用，如物理学中，位移s对时间t的导数是表示时刻t处的瞬时速度，而速度对时间t的导数就是时刻t处的加速度． [答案]　A [答案]　C [答案]　A * 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ .即y对x的导数等于 . 复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 ，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 ． 复合函数的概念 复合函数及其求导法则 x的函数 y＝f(g(x)) yu′·ux′ y对u的导数与u对x的导数的乘积 [答案]　－6 *