复合函数与隐函数的导数.ppt

* 高等数学（经） 2.3 复合函数与隐函数的导数 引例1 , 求 。 已知 解 : 2.3.1 复合函数的导数 1.新课引入 引例2 , 求 。 已知 解: 经济数学 提出问题 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 1.新课引入 ? 1）设 ，如何求 ？ 2）设 ，如何求 ？ 经济数学 定理2.5 　或 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 设函数 由 与 复合而成，如果函数 在点 处可导，函数 在对应点 处可导，则复合函数 在点 处可导，且 经济数学 因此 可看作是由 与 复合而成。 如问1）可以用以下方法求解： 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 如问2）可以用以下方法求解： 可看作是由 与 复合而成。 因此 经济数学 说明 1.复合函数的求导法则实际上是复合函数关于自变量的导数,等于函数关于中间变量的导数乘以中间变量关于自变量的导数; 2.该法则可以推广到有多个中间变量的情形。 均是可导函数， 例如： ， ， 可导，且 则复合函数 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 设函数 ，求 。 例1 解： 可看作是由 与 因此 复合而成。 例2 设函数 ，求 。 解： 可看作是由 与 复合而成。 因此 经济数学 如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的导数，如例2的另一种解法。以后复合函数求导我们常用下面的方法。 说明 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 例2另解： 经济数学 解： 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 求函数 的导数。 例3 解： 例4 求函数 的导数。 + 经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 4.课堂练习 求下列函数的导数： 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） * + + 经济数学 把一个由二元方程 所确定的函数 称为隐函数。 例如：由方程 所确定的关系为 关于 的隐函数。 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.2 隐函数的导数 1.隐函数的概念 把因变量 写成自变量 的显式表达式 这样的函数称作显函数。 经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.2 隐函数的导数 2.隐函数的求导法则 隐函数与显函数有什么区别与联系？ 隐函数如何求导？ ? 在方程 的两端对 看作中间变量， 的方程， 即为所求隐函数 的导数。 把其中的 得到一个含 求导， 运用复合函数 求导法， ， 解出 经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.2 隐函数的导数 3.隐函数求导举例 例5 隐函数的导数 求由方程 。 所确定的 解： 对方程 两端同时关于 得 于是得 求导， 经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 处的切线方程。 求曲线 在点 例5 2.3.2 隐函数的导数 3.隐函数求导举例 解： 对方程 两端同时关于 得 于是得 求导， 因而切线的斜率为 所以所求切线方程为 即 经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.2 隐函数的导数 3.隐函数求导举例 所确定的隐函数为 设由方程 。 ，求 例6 解： 得 于是得 因为 ，所以 对方程 两端同时关于 求导， 经济数学 （一）求下列隐函数的导数： 1） 2） 3） （二）求曲线 在点 处的切线方程。 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.2 隐函数的导数 4.课堂练习 经济数学 解： 于是得 两端同时取自然对数， 先对 得 两端同时对 求导， 得 2.3 复合函数与隐函数的导数 ＊2.3.3 取对数法求导 求函数 的导数 。 例7 经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 求函数 的导数 。 例8 ＊2.3.3 取对数法求导 解： 两端同时取自然对数， 对 得 两端同时对 求导， 得 于是得 经济数学 具有什么特征的显函数用取对数法求导比较方便？ ? 2.3 复合函数与隐函数的导数 ＊2.3.3 取对数法求导 经济数学 求下