复变函数课件第5章5-1孤立奇点.ppt

第一节 孤立奇点 一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考 一、孤立奇点的概念 定义 如果函数 在 不解析, 但 在 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 例1 是函数 的孤立奇点. 是函数 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. * 例2 指出函数 在点 的奇点特性. 解 即在 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 不是孤立奇点. 所以 * 孤立奇点的分类 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末孤立奇点 称为 的可去奇点. 1) 定义 * 其和函数 为在 解析的函数. 说明: (1) (2) 无论 在 是否有定义, 补充定义 则函数 在 解析. * 2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 的洛朗级数无负 在 如果 幂项则 为 的可去奇点. (2) 判断极限 若极限存在且为有限值, 则 为 的可去奇点. * 如果补充定义: 时, 那末 在 解析. 例3 中不含负幂项, 是 的可去奇点 . * 例4 说明 为 的可去奇点. 解 所以 为 的可去奇点. 无负幂项 另解 的可去奇点. 为 * 2. 极点 其中关于 的最高幂为 即 级极点. 那末孤立奇点 称为函数 的 或写成 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的 负幂项, * 说明: 1. 2. 特点: (1) (2) 的极点 , 则 为函数 如果 例5 有理分式函数 是二级极点, 是一级极点. * 2)极点的判定方法 的负幂项为有 的洛朗展开式中含有 限项. 在点 的某去心邻域内 其中 在 的邻域内解析, 且 (1) 由定义判别 (2) 由定义的等价形式判别 (3) 利用极限 判断 . * 课堂练习 求 的奇点, 如果是极点, 指出它的 级数. 答案 * 本性奇点 3. 如果洛朗级数中含有无穷多个 那末孤立奇点 称为 的本性奇点. 的负幂项, 例如， 含有无穷多个z的负幂项 特点: 在本性奇点的邻域内 不存在且不 为 同时 不存在. * 综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m级极点 本性奇点 洛朗级数特点 存在且为 有限值 不存在 且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有限个负幂项 关于 的最高幂 为 * 二、函数的零点与极点的关系 1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 如果 能表示成 其中 在 解析且 m为某一正整数, 那末 称为 的 m 级零点. 例6 注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的. * 2.零点的判定 零点的充要条件是 证 (必要性) 由定义: 设 的泰勒展开式为: 如果 在 解析, 那末 为 的 级 如果 为 的 级零点 * 其中 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数 公式知: 并且 充分性证明略 . * (1)由于 知 是 的一级零点 . 课堂练习 是五级零点, 是二级零点. 知 是 的一级零点. 解 (2)由于 答案 例7 求以下函数的零点及级数: (1) (2) 的零点及级数 . 求 * 3.零点与极点的关系 证 * * 说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为 简便的方法. 例8 函数 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级. 解 函数的奇点是使 的点, 这些奇点是 是孤立奇点. 的一级极点. 即 * 解 解析且 所以 不是二级极点, 而是一级极点. 是 的几级极点? 思考 例9 问 是 的二级极点吗? 注意: 不能以函数的表面形式作出结论 . * 三、函数在无穷远点的性态 1. 定义 如果函数 在无穷远点 的去心 邻域 内解析, 则称点 为 的孤 立奇点. R x y o * 令变换 规定此变换将: 映射为 扩充 z 平面 扩充 t 平面 映射为 映射为 映射为 * 结论: 在去心邻域 内对函数 的研究 在去心邻域 内对函数 的研究 因为 在去心邻域 内是解析的, 所以 是 的孤立奇点. 规定: m级奇点或本性奇点 . 的可去奇点、m级奇点或 本性奇点, 如果 t=0 是 是 的可去奇点、 那末就称点 * 1)不含正幂项; 2)含有有限多的正幂项且 为最高正幂; 3)含有无穷多的正幂项; 那末 是 的 1)可去奇点 ; 2) m 级极点; 3)本性奇点 . 判别法1 (利用洛朗级数的特点) 2.判别方法: 在 内的洛朗级数中: 如果 * 例10 (1)函数 在圆环域 内的洛朗展开式为: