多元函数微分7.ppt

方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、方向导数 二、梯度 上页 下页 铃 结束 返回 首页 设函数z?f(x, y)在点P0(x0? y0)的某一邻域U(P0)内有定义? l是xOy平面上以P0(x0? y0)为始点的一条射线? 与l同方向的单位向量为el?(cos?? cos?)? 提示? 即极限 取P(x0?tcos?? y0?tcos?)?U(P0)? 如果极限 方向导数 一、方向导数 设函数z?f(x, y)在点P0(x0? y0)的某一邻域U(P0)内有定义? l是xOy平面上以P0(x0? y0)为始点的一条射线? 与l同方向的单位向量为el?(cos?? cos?)? 存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记为 取P(x0?tcos?? y0?tcos?)?U(P0)? 如果极限 方向导数 一、方向导数 设函数z?f(x, y)在点P0(x0? y0)的某一邻域U(P0)内有定义? l是xOy平面上以P0(x0? y0)为始点的一条射线? 与l同方向的单位向量为el?(cos?? cos?)? 方向导数 方向导数就是函数f(x? y)在点P0(x0? y0)处沿方向l的变化率? 一、方向导数 设函数z?f(x, y)在点P0(x0? y0)的某一邻域U(P0)内有定义? l是xOy平面上以P0(x0? y0)为始点的一条射线? 与l同方向的单位向量为el?(cos?? cos?)? 方向导数 如果函数z?f(x, y)在点P0(x0? y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el?(cos?? cos?))的方向导数都存在, 且有 定理(方向导数的计算) 讨论? 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示? 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el?(cos?? cos?))的方向导数? 例1 求函数z?xe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, ?1)的方向的方向导数. 解 所以所求方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el?(cos?? cos?))的方向导数? 因为函数可微分? 且 对于三元函数f(x? y? z)来说? 它在空间一点P0(x0? y0? z0)沿el?(cos? ? cos? ? cos?)的方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el?(cos?? cos?))的方向导数? 如果函数f(x? y? z)在点(x0? y0? z0)可微分, 则函数在该点沿着方向el?(cos? ? cos? ? cos?)的方向导数为 ? 例2 求f(x? y? z)?xy?yz?zx在点(1? 1? 2)沿方向l的方向导数? 其中l的方向角分别为60?? 45?? 60?? 解 与l同向的单位向量为 因为函数可微分? 且 所以 fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3? fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3? fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 梯度的定义 设函数z?f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0? y0)?D, 都可确定一个向量 fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 这向量称为函数f(x, y)在点P0(x0? y0)的梯度, 记作gradf(x0? y0), 即 gradf(x0? y0)?fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 二、梯度 梯度的定义 函数z?f(x, y)在点P0(x0? y0)的梯度: gradf(x0? y0)?fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 梯度与方向导数 如果函数f(x? y)在点P0(x0? y0)可微分? el?(cos?? cos?)是与方向l同方向的单位向量, 则 ?gradf(x0? y0)?el ?|gradf(x0? y0)|?cos(gradf(x0? y0),^el)? 二、梯度 梯度的定义 函数z?f(x, y)在点P0(x0? y0)的梯度