多元函数微分3.ppt

全微分 一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用 上页 下页 铃 结束 返回 首页 偏增量与偏微分 提示: f(x)在点x可微: ————函数f(x, y)对x的偏微分 ——函数f(x, y)对y的偏增量 ————函数f(x, y)对y的偏微分 ——函数f(x, y)对x的偏增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 f(x??x, y)?f(x, y) f(x, y??y)?f(x, y) fx(x, y)?x fy(x, y)?y 全增量 ?z ? f(x??x, y??y)?f(x, y). 讨论: 当 fx(x, y)在点(x, y)连续时 其中 提示: f(x)在点x可微: 提示: 拉格朗日微分中值公式: 提示: 当 fx(x, y), fy(x, y)在点(x, y)连续时, 全增量 ?z ? f(x??x, y??y)?f(x, y). 讨论: 当 fx(x, y)在点(x, y)连续时 其中 全微分的定义 其中A、B不依赖于?x、?y而仅与x、y有关, 则称函数z?f(x, y)在点(x, y)可微分, 而A?x?B?y称为函数z?f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz?A?x?B?y. 如果函数z?f(x, y)在点(x, y)的全增量 ?z?f(x??x, y??y)?f(x, y) 可表示为 提示: 当 fx(x, y), fy(x, y)在点(x, y)连续时, 函数在区域D内可微分, 就是函数在D内各点处都可微分. 全微分的定义 其中A、B不依赖于?x、?y而仅与x、y有关, 则称函数z?f(x, y)在点(x, y)可微分, 而A?x?B?y称为函数z?f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz?A?x?B?y. 如果函数z?f(x, y)在点(x, y)的全增量 ?z?f(x??x, y??y)?f(x, y) 可表示为 可微分的充分条件 则函数在该点可微分. 全微分的定义 其中A、B不依赖于?x、?y而仅与x、y有关, 则称函数z?f(x, y)在点(x, y)可微分, 而A?x?B?y称为函数z?f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz?A?x?B?y. 如果函数z?f(x, y)在点(x, y)的全增量 ?z?f(x??x, y??y)?f(x, y) 可表示为 (2) 当 时, g = o(r) 的充要条件是存在无穷小a, b, 使 注: (1) 可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则 ?z?f(x??x, y??y)?f(x, y) ?A?x?B?y?o(r), 因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续. 于是 从而 可微分的必要条件 如果函数z?f(x? y)在点(x? y)可微分? 则函数在该点的偏导 简要证明 特别当?y?0时, 有 f(x??x, y)?f(x, y)?A?x?o(|?x|), 设函数z?f(x, y)在点(x, y)可微分. 于是有 ?z?f(x??x, y??y)?f(x, y) ?A?x?B?y?o(r), 叠加原理 按习惯, ?x、?y分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 这样函数z=f(x, y)的全微分可写作 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如u?f(x, y, z)的全微分为 可微分的必要条件 如果函数z?f(x? y)在点(x? y)可微分? 则函数在该点的偏导 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 偏导数都存在, 但不连续(从而不可微)的函数举例: 连续, 但偏导数不存在(从而不可微)的函数举例: 在点(0, 0): 在点(0, 0): 例1