多元函数的微分法及其应用复习习题.ppt

1.曲面的切平面与法线 2) 显式情况. 一、 基本概念 思考与练习 分析: 2. 证明: 二、多元函数微分法 3. 设 解法2 4.设 三、多元函数微分法的应用 练习题： * 空间光滑曲面 曲面 ? 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上节内容: 空间光滑曲面 切平面方程 法线方程 法向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 如对二元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 ? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 例.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 条件极值： 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法章节小结： 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 解法2 令 解法3 令 时, 下列算法是否正确? 解法1 解法2 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 解法3 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了? 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , ? 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 . 提示: 利用 故f 在 (0,0) 连续; 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 机动 目录 上页 下页 返回