多元微分学的几何应用方向导数和梯度.ppt

综上①②可知：若某点偏导数存在，能保证该点沿x、y 轴的四个射线方向的方向导数分别存在.其它方向的方向导数是否存在未知. [例如] (3) 但反之，若方向导数存在，偏导数不一定存在 2. 【方向导数的存在及计算】 方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理 利用偏导数计算方向导数的公式 故有方向导数公式 【注意】 (1)可微是方向导数存在的充分条件. 此时 (2)在不可微点，方向导数也可能存在， 此时要用方向导数定义求. 例1 求函数z?xe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, ?1)的方向的方向导数. 解 所以所求方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el?(cos?? cos?))的方向导数? 因为函数可微分? 且 例2 求f(x? y? z)?xy?yz?zx在点(1? 1? 2)沿方向l的方向导数? 其中l的方向角分别为60?? 45?? 60?? 解 与l同向的单位向量为 因为函数可微分? 且 所以 fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3? fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3? fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 三、梯度 二、梯度 一块长方形的金属板，受热 产生如图温度分布场. 设一个小虫在板中逃生至某 问该虫应沿什么方向爬行， 才能最快到达凉快的地点？ 处， 问题的解决： 哪个方向由热到冷变化的速度最 快，就往哪爬。即往哪个方向， 方向导数才能取得最大值？ 当 即， 与向量 方向相同时， 方向导数取到最大值： 因此向量 是使函数在一点的方向导数达到最大值的方向 向量 是使函数在一点增加得最快的方向 称向量 为函数 z = f(x, y)在点 (x, y) 处的梯度向量，简称梯度 (gradient)，记作 其中 称为向量微分算子或 Nabla算子. 梯度是一个向量 它是函数 z = f(x, y) 在点 (x, y) 处取得最大方向导数的方向 最大方向导数为： 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图2 梯度的几何解释 所得曲线在xoy面上投影为平面曲线 称为函数 的等值线 方程两边微分： 或者说： 梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。 等值线 梯度为等值线上的法向量 问题： 上山下山时，如何选择最快的方向？ 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数梯度的几何解释： 三元函数 的等值面： 由切平面的讨论，知梯度 是等值面Σ在点(x,y,z)处的法向量。 故梯度向量 在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。 梯度的运算律 类似于导数的运算律 其中C为常数。 于是 grad f(1, ?1, 2) 例4 设f(x, y, z)?x2?y2?z2, 求grad f(1, ?1, 2)? 解 grad f?(fx, fy, fz) ?(2x, 2y, 2z), ?(2, ?2, 4)? 解 由梯度计算公式得 故 则在 处梯度为 例4 求函数 在点 处的梯度，并问在何处梯度为零？ 例5 设 f (x,y,z)=x 3-xy 2-z, P0(1,1,0),问 f (x,y,z) 在P0处沿着什么方向变化最快，在这个方向的变化率是多少？ 解：当函数沿着梯度方向时，变化最快。此时的变化率就是该方向的方向导数值，也就是梯度的模。 其中 l 就是所要找的方向，此时 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场. 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场. 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定. 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定, 而 其中P(M), Q(M), R(M)是点M的数量函数. 方向导数的概念 梯度的概念 方向导数与梯度的关系 (注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的区别) (注意梯度是一个向量) 梯度的方向就是函