大学物理 吴百诗主编10-1.ppt

简谐振动的机械能守恒。 能量平均值 上述结果对任一谐振系统均成立。 考虑到 ，系统总能量为 ，表明 谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: *六、用能量法解谐振动问题 步骤： 一阶微分方程，再根据初始条件，即可求出振动 从给定系统的能量关系式出发，得到振动的 方程。 例题10-3 在横截面为S的U形管中有适量液体， 液体总长度为 ，质量为 ，密度为 ，求液面上下 起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩擦）。 解：选如图所示坐标系，两液面相齐时的平衡位置 为势能零点。 系统的势能为 液体的动能为 由能量守恒得 对时间求导，并整理可得 液体作简谐振动，其角频率及周期分别为 又因为 解：设棒长为2R, 质量为m，在 且不计 例题10-4 一匀质细杆AB的两端, 用长度都为 棒扭动时, 其质心沿 上下运动。 因扭动角度 很小，可近似认为细棒 在水平面内转动。 扭动角度为 时, 质量的细绳悬挂起来, 当棒以微小角度绕中心轴 细棒在水平面内转动角度为 ，则有 扭动时，求证其运动周期为： 。 hc是棒的质心相对棒平衡时质心位置的高度, 有 系统机械能守恒 将上式两端对时间求导，并利用关系 常量 例题10-5 劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。 解：平衡时O点为处 坐标原点。物体运动到x 时，弹簧固定端位移为 零，位于M一端位移为 x。当物体位 于x 处时,弹簧元 ds 的质量 ,位移为 速度为 , 弹簧、物体的动能分别为 系统弹性势能为 系统机械能守恒，有 将上式对时间求导，整理后可得 因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微运动时，弹簧振子的运动可视为是简谐运动。 常量 常量 选择进入下一节 §10-0 教学基本要求 §10-1 谐振动 §10-2 阻尼振动 §10-3 受迫振动 共振 §10-4 电磁振荡 §10-5 一维谐振动的合成 *§10-6 二维谐振动的合成 *§10-7 振动的分解 频谱 *§10-8 非线性振动与混沌 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。 一、简谐振动的特征及其表达式 §10-1 谐振动 连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和 一个不发生形变的物体系统。 弹簧振子： 回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力, 该力与位移成正比且反向。 简谐振动的动力学特征: 据牛顿第二定律，得 运动学特征 位移 之解可写为 令 或 用旋转矢量图画简谐运动的 图 简谐振动的运动学特征: 物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。 速度 加速度 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系: 常量 和 的确定 根据初始条件： 时， , ，得 存在两个值，可根据 在 到 之间， 通常 进行取舍。 1.振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 由初始条件确定 2 周期和频率 周期：物体作一次完全振动所经历的时间。 频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。 二、描述谐振动的特征量 角频率: 物体在 秒内所作的完全振动的次数。 利用上述关系式，得谐振动表达式： 对于弹簧振子，因有 ，得 3.相位和初相 相位 ：决定简谐运动状态的物理量。 初相位 ：t =0 时的相位。 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为 A/2 二者的相位差为 b.当 时,称两个振动为反相； a.当 时,称两个振动为同相； 讨论： d.当 时,称第二个振动落后第一个振动 。 c.当 时,称第二个振动超前第一个振动 ； 相位可以用来比较不同物理量变化的步调。 对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在: 速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相位比位移的相位超前 。 旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量 在纸平面 可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。 三、谐振动的旋转矢量图示法 内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的 角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。 振动相位 逆时针方向 ω M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律： 的长度 旋转的角度速 旋转的方向 与参考方向x的夹角 x O M P x 振幅A 振动圆频率