太理水利工程计算及设计第二章 线性代数方程组的数值方法.ppt

全主元法的精度略优于列主元法，这是由于全主元法是在全体系数中选主元，故它对控制舍入误差比较有效。但全主元法在计算过程中，需同时作行与列的互换，因而程序比较复杂，计算时间较长。列主元法的精度虽稍低于全主元法，但其计算简单，工作量大为减少，实践表明，它与全主元法同样具有良好的数值稳定性，故列主元法是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一。一般采用列主元法。 说明： 主 元 消 去 法 题3 分别用列主元消去法和全主元消去法求解线性方程组。 精确解舍入到4位有效数字为 主 元 消 去 法 关于主元法的几点讨论 （1）有两类系数阵可以避免选主元，直接使用高斯消去法便可得到满意的结果。它们是：严格对角占优矩阵和对称正定矩阵。 严格对角占优矩阵是指其元素满足 或以列为准，其元素满足 严格对角占优矩阵必定是非奇异阵，且每步消元后，仍保持对角占优的性质，因此，不必选主元。 对称正定矩阵其行列式大于零，方程组可解，且在每步消元中，剩下的子阵仍保持对角占优和对称性，因此不必选主元。 行 列 （2）关于病态方程 其具有5位有效数字的正确解为 如把其系数阵也取成5位有效数字 给出的错误解答为 第一步消元后 该方程为一个病态方程。 判断是否为病态方程: 行列式很大或很小（如某些行列式近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。 解决方法 在已知方程组是病态的情况下（通过试算或理论分析），宜采用双倍或多倍字长进行高精度运算，以减弱有效位损失的影响。 下面的误差校正算法 主 元 消 去 法 （3）使解精确化的误差校正算法 设X(1)是方程组AX=B的解。则得到误差向量 （1） （2） （3） （4） （5） 由（1），则 令 则（2）即为 求解（4），则校正后的近似解是 由于X（1），Y（1）是有误差的，故对解的校正可继续，直到满足误差要求为止。 主 元 消 去 法 ③检验相对误差。设ε为给定精度，如果 则执行②，继续修正近似解，直到 为止。对某个K，若 ，说明算法失效，不能使解精确化，则终止计算。 整个算法综述如下: ①取 ②用主元法解 修正近似解 计算误差向量 计算相对误差 主 元 消 去 法 三、高斯——约当消去法 前述消去法包括消元回代两个过程。将消元过程略加修改，把系数阵化为单位对角阵，则可免去回代。这种将两个过程合二为一的消元算法就是高斯——约当消去法。消元完成时，解向量X就在右端向量B中。 高斯-约当消去法 例 解: 高斯——约当消去法在第k步消元计算时，考虑对上述矩阵的第k列中的第k行上，下都进行消元计算，除使akk=1外，其余系数均消为零。 高斯-约当消去法 高斯——约当消去法算法如下： 高斯-约当消去法 比较 高斯——约当消去法算法 高斯消去法算法 高斯-约当消去法 解 举例： 消x1 消x2 消x3 高斯-约当消去法 题4 用高斯-约当消去法解下列方程组 高斯-约当消去法 第二章 线性代数方程组的数值方法 第一节 线性代数方程组的直接解法 第二节 线性代数方程组的迭代解法 本章内容 各种直接解法的基本原理及构造迭代格式的基本原理。 重点 第一节 线性代数方程组的 直接解法 直接解法是用有限次代数运算得到方程组解的方法。如无舍入误差，则由直接解法得到的解就是精确解。但舍入误差以及误差的积累是无法避免的，因此直接解法给出的仍是近似解。本节给出的各种直接解法都是适用于计算机的有效方法。它们对稠密系数阵的较低阶方程组（几百个方程）以及带状系数阵的高阶方程组（几千个方程）都很有效。 高斯消去法 主元消去法 高斯-约当消去法 三角分解法 对称矩阵的三角分解---乔列斯基法 三对角阵的三角分解----追赶法 方程组的逆矩阵解法与矩阵求逆 直接解法 列主元法 全主元法 设有n阶线性代数方程组 方程组的矩阵形式为 可简记为 本节假定A非奇异或其行列式不为零，方程组有解且唯一。 一、高斯消去法 高斯消去法是解线性方程组的经典方法，由它改进得到的选主元的消去法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题。 高 斯 消 去 法 举例 第一步 消元过程 (1) (2) (3) 消x1 式(1)/6 (4) (5) (6) 式(5)-式(4) ×2 式(6)-式(4) (7) (8) (9) 高 斯 消 去 法 消