实变函数论第三版课件.ppt

* 定理3 可数集合的无穷子集仍是可数的。 证明：假设 是可数集， 是 的无穷子集，由定理2， 含可数子集 ，于是 ，但 ，故 ，从而 也是可数的。证毕。 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 定理4 设 是可数集， 是有限集或可数 集，则 可数。 证明：由于 有限或可数，故 有限或可数，所以 可以写成 ，或 ，又因 可数，从而 可以写成 ，将 按如下方法排列：当 时，将 排成 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 当 将 排成 无论哪种情形， 显然都是可数的。 证毕。 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 定理5 有限个或可数个有限集或可数集的 并仍是有限集或可数集。 证明：不妨假设 是一列有限或可数集（有限个集合情形证明相仿）。将 中元素排列成 ，（如果 是有限集，则排列成 ）。于是 表示 中的 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 第 个元素，记 ，则对任意自然数 ，满足 的数组 必为有限个，首先按 从小到大的顺序进行编号，即将 编为 对每个 ，将 重新写成 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 即按第一个下标 从小到大的顺序排列，应该注意的是 中可能含一些重复的元素，暂且将重复元素留着，最后将 排成 在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的是有限集或可数集。证毕。 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 如果说 表示正整数， 表示一个有限集与可数集之并的势， 表示 个可数集之并的势， 表示可数个可数集之并的势，则定理5蕴含了下列各式： （1） （2） （3） （4） 定理6 。 证明：记 ，显然 是可数集，故 可数；同理每个 也可数，从而 可数，于是 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 是可数的，即 。证毕。 定理6告诉我们，尽管有理数全体在数 轴上处处稠密，然而，它和自然数集却是对等的，这与我们的直觉是多么不同！ 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 问题1：可数集合的性质与有限集合的性 质有何异同？其本质差别是什么？ 前面已经看到，可数集是无穷集中势最小者，下面的命题指出，任一无穷集并上一个可数集不影响它的势。 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 命题1 假设 A 是无穷集,B是可数集 或有限集，则 。 证明：由 可数或有限知 也可数或有限，且 ，故不妨假设 与 不相交。由定理2知 含可数子集，不妨记为 ，则 仍可数，于是 与 第3讲 势的定义 --可数集合与连续势 对等，又 与自身对等，不妨设 是 与 的1-1对应， 是 到自身的恒等映射，则令 ，易知 是