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对微分流形的初步认识摘要：微分流形是描述无数自然现象的一种空间形式，是20世纪数学的有代表性的基本概念.本文分成四大部分，共11小节,初步介绍关于微分流形的基本知识，对微分流形做一些初步的认识.其中包括关于微分流形、切向量场和张量场、外微分式、Stokes定理等的介绍.关键词：微分流形；Stokes定理；张量场；切向量场；外微分式引言在数学的发展过程中，综合与分析的方法始终是一对矛盾的两个方面.当前，在数学的各个分支学科已经分得很详细的情况下，数学发展的势头看来是朝着在更高层次的综合方向发展，而在这里几何学发挥着重要的基础作用.几何学不仅广泛的应用于复分析、非线性分析、偏微分方程、拓扑学、随机过程、数学物理和力学等分支学科，反过来这些学科也大大促进了几何学的发展.黎曼几乎自1854年问世以来，已经历了近150年，它在广义相对论中有成功的应用.特别是20世纪30年代后，大范围微分几何登上了舞台，其里程碑就是陈省身关于黎曼流形上Gauss-Bonnet定理的内在证明.自此以后，微分流形，纤维丛理论成为数学工作者应该具备的知识.一．微分流形§1. n维欧式空间粗略的说，几何学的发展史就似乎空间概念的发展史.“空间”的重要性在于它是数学延伸发展的平台：随着一种新空间观念的出现与成熟，就近的数学就会在这个空间中展开和发展.微分流形的概念首先是由黎曼提出的，他把个变量看作维空间中动点的坐标.此时，坐标本身不再具有特殊的几何意义，人们关心的是那些能够用坐标表达、然而与坐标系选择无关的量.因此我们可以考虑这样的空间，它没有适用于整个空间的坐标系，而在没一点的邻域内存在局部使用的坐标系，但是我们仍然能够研究在空间中大范围定义的量，即与局部坐标系选择无关的量.微分流形概念的产生和精确化是当代数学的一大成就，微分流形是大范围分析和整体微分几何演出的舞台，同时微分流形的拓扑是重要的研究课题.维欧式空间是维微分流形最简单的例子和模型.微分流形的概念和构造是从欧式空间的概念和有关构造脱胎而出的.因此，了解维欧式空间是十分必要的.定义1.1 设V是维向量空间.若在上给定一个对称的，正定的双线性函数：,既满足下列条件：⑴;⑵;⑶;⑷且等号只在时成立.其中，,则称为n维欧氏向量空间.满足上述条件的双线性函数称为欧氏内积，通常记为.定义1.2 设是维向量空间.是一个非空集合，中元素称为点.若存在一个映射，它把中的任意一对有序点、映成中的一个向量，且满足下列条件：　⑴.　⑵，存在惟一的点，使得.　⑶，成立恒等式.则称是维仿射空间，且称是与仿射空间伴随的向量空间.定义1.3 设是维欧氏向量空间，则以为伴随向量空间的仿射空间称为维欧氏空间,记为.中任意两点、间的距离定义为.；设为维欧氏空间.若在中取定一个单位正交标架之后，也就是在中建立一个直角坐标系侯，便等同于.今后为简便起见，常把维欧氏空间记为.§2.微分流形的定义微分流形是现代数学的重要分支，它溶分析、拓扑、几何、代数等多种知识于一体，形成了近代物理学、力学、工程技术、近代社会科学的重要数学基础.近代科技的发展，越来越显示出微分流形的重要性.接下来就介绍一下流形的定义.定义2.1 设是一个Hausdorff拓扑空间.若的每一点P都有一个开邻域，使得和维欧氏空间中的一个开子集是同胚的，则称是一个维（拓扑）流形.定义2.2 设同胚，其中是中的开集，则称为流形的一个坐标卡.,称为流形的一个局部坐标系.维拓扑流形就是在它的每一点的一个邻域内可以建立维局部坐标系的Hausdorff空间.定义2.3 设是一个维拓扑流形，与是它的两个坐标卡，若，都是的，则称与相关；时，对任意相关. 流形是一种局部相似于欧氏空间的拓扑空间，如中的球面、环面等，即二维流形的典型例子.流形的特点是它一般只能局部地同胚于欧氏空间的开子集，一般不一定能整体地同胚于欧氏空间.因此流形一般无全局坐标而只有局部坐标，这是它的一个重要特征.定义2.4 设是维拓扑流形.假定是坐标卡的一个集合，且满足构成流形的一个开覆盖.属于的任意两个坐标卡都是相关的.是极大的：即若是的一个坐标卡，且与中每个成员都是相关的，则必属于.此时称坐标卡集为流形上的一个微分结构.时，称为上的一个光滑结构；时，称为上的一个解析结构.定义2.5 设是个 维拓扑流形，若在上指定一个微分结构，则称为一个维微分流形.属于的坐标卡为该微分流形的容许坐标卡.时，称为光滑流形；时，称为解析流形. 微分流形的基本思想是要在流形上引入一种局部结构以保能在流形上进行微分运算，从而在流形上建立的分析学.B.Riemann大概是第一个使用“流形”一词的人.他在1854年提交的著名论文“论几何学的基本假设”中，有“流形”（Mannigfaltigkeit）的提法.无疑地，在他脑海中流形的概念是清楚的.他把一组变