导数及偏导数的计算.ppt

导数及偏导数的计算 实 验 目 的 １．进一步理解导数概念及其几何意义. 　 ２．学习Matlab的求导命令与求导法. 实 验 内 容 １．学习matlab命令. 建立符号变量命令sym和syms等的调用 格式: x=sym(‘x’)， 建立符号变量x； syms x y z ， 建立多个符号变量x，y，z； Matlab符号工具箱简介 Matlab系统本无符号运算功能，符号运算工具箱（Symbolic Math Toolbox）则扩充了Matlab这方面的功能。 这个工具箱在Matlab安装的Toolbox/Symbolic子文件夹下。 符号变量与符号表达式 新的数据类型----符号变量 1. 用sym函数来定义一个符号或符号表达式 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(‘a’)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。 2. syms函数定义多个符号 syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 … varn 函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符(‘’)，变量间用空格而不要用逗号分隔。 3.用findsym来确认符号表达式中的符号 例： 4. 表达式化简 Matlab提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 例1 .(1)执行下面命令： f=sym(‘cos(x)^2-sin(x)^2’); f=simple(f) 执行结果为： f=cos(2*x) (2)执行下面命令： g=sym(‘x^3+3*x^2+3*x+1’); g=simple(g) 执行结果为： g=(x+1)^3 例2 验证三角公式：sin(x-y)=sinxcosy- cosxsiny. 解：输入命令： syms x y; f=simple(sin(x)*cos(y)- cos(x)*sin(y)) 执行结果为： f=sin(x-y) 例4 求符号矩阵的逆、行列式及特征值和特征向 量。 解：输入命令 syms a b c d A=[a,b;c,d]; njz=inv(A) hls=det(A) [tzxl,tzz]=eig(A); tzxl’ diag(tzz) 执行结果： 求导数和偏导数 matlab求导命令diff调用格式: diff(函数 f(x))，求 f(x) 的一阶导数 f’(x) ； diff(函数 f(x), n), 求 f(x) 的n阶导数 f(n)(x)(n 是具体整数)； diff(函数 f(x,y),变量名 x)，求 f(x,y) 对x的偏导 数 ； diff(函数 f(x,y),变量名 x,n)，求 f(x,y) 对x的n阶 偏导数 jacobian([函数 f(x,y,z)；函数 g(x,y,z)； 函数 g(x,y,z)]， [x,y,z])给出矩阵: ２．导数概念. 导数是函数的变化率，几何意义是曲线在 一点处的切线斜率. 点导数是一个极限值. 例3.1 设 f(x)=ex，用定义计算f’(0). 解： f(x)在某一点的导数定义为极限： 我们记 h=△x，输入命令： syms h； limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0) 得结果: ans=１． 可知 f’(0)=1. 导数的几何意义是曲线的切线斜率. 例3.2 画出 f(x)=ex 在 x=0 处(P(0,1))的切线及若 干条割线，观察割线的变化趋势. 解: 在曲线 y=ex上另取一点M (h, eh),则PM的方程 则h=3,2,1,0.1,0.01分别作出几条割线. h=[3，2，1，0.1，0.01]； a=(exp(h)-1)./h； x=-1:0.1:3； plot(x，exp(x)，’r’)； hold on for i=1:5； plot(h(i)，exp(h(i))，’r.’) plot(x，a(i)*x+1) end axis square 作出 y=ex 在x=0 处的切线 y=x+1