导数在函数中的应用——题型总结.doc

导数在函数中的应用 一.基础知识 1.函数的导数与单调性 在某个区间内，若0，则函数在这个区间内单调递增；若0, 则函数在这个区间内单调递减. 2.函数的导数与极值 （1）极大值：如果在附近的左侧0，右侧0，且=0，那么是极大值； （2）极小值：如果在附近的左侧0，右侧0，且=0，那么是极小值； 3.函数的导数与最值 (1)函数在区间[a,b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a,b]上，函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2) 求函数在区间[a, b]上最大值与最小值的步骤： ①求函数在区间（a,b）内的极值； ②将函数的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点． (1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件． (2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围． 当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间． (1)注意实际问题中函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 例1已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是(　　) A．x－y＋1＝0　　　　　B．2x－y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＋2＝0 直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则a－b的值为(　　) A．－4　　　　B．－1 C．3　　　　D．－2 已知函数f(x)＝(ax＋b)－x－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则函数f(x)的单调增区间为________． 已知函数f(x)＝＋ax＋bx(a)．(1)当a＝1时求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝且函数f(x)在上不存在极值点求a的取值范围． 已知函数f(x)＝x2＋ax＋bln x(x0，实数a，b为常数)． (1)若a＝1，b＝－1，求函数f(x)的极值；(2)若a＋b＝－2，讨论函数f(x)的单调性． 已知函数f(x)＝x－(a＋2)x＋a＋2a＋2，其中a≤2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 已知a∈R，函数 （1）求的单调区间（2）证明：当0≤≤1时， + ＞0. 设函数(Ⅰ)求的单调区间 (Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x0时，，求k的最大值利用导数研究函数的单调性关注四点 (1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论． (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论． (3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． (4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制． 已知函数f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间． 已知函数f(x)＝(x＋a)－7b＋1，其中a，b是常数且a≠0.(1)若b＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当b＝时，讨论f(x)的单调性． 若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0]　　　　　B．[－1，＋∞)C．[0,3] D．[3，＋∞) 函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________．的图像在